trójkąt,okrąg,sześciokąt

[michal422]

Dany jest trójkąt o obwodzie \(\displaystyle{ p=a+b+c}\), wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\). Konstruujemy sześciokąt, którego trzy wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, a pozostałe trzy są środkami odpowiednich tłuków okręgu.Oblicz pole tego sześciokąta.Sformułuj twierdzenie ogólne przyjmując \(\displaystyle{ S_{n}}\)-obwód \(\displaystyle{ n-}\)kąta; \(\displaystyle{ P_{2n}}\)-pole \(\displaystyle{ 2n-}\)kąta.


Rozwiązałem to zadanie,ale rozważając sześciokąt foremny-czy muszę to teraz zrobić dla dowolnego sześciokąta?? Wydaje mi się że nie-ale wolę się upewnić.Bardzo proszę o odpowiedz.

[norwimaj]

Masz zrobić dla dowolnego trójkąta. Nie musisz rozważać szczególnego sześciokąta, chyba że Twoje ogólne rozwiązanie nie działa dla jakiegoś przypadku.

[michal422]

Zastanawiam się czy nie powinienem zrobić tego dla dowolnego sześciokąta -w treści nie było mowy o sześciokącie foremnym.
Dla sześciokąta foremnego wyszło mi:

\(\displaystyle{ P_{2n} = P_{12} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot 6r = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot S_n}\)

zastanawiam się czy takie uogólnienie wyjdzie również dla dowolnego sześciokąta.

[norwimaj]

Ja nic takiego nie napisałem.-- 23 maja 2012, o 20:36 --Powtarzam, że w zadaniu chodzi o dowolny trójkąt. Sześciokąt nie jest dowolny, ale też nie musi być foremny. W każdym razie sześciokąt ten jest sumą trzech deltoidów.

Nie zmieniaj całkiem treści swoich wpisów, bo się robi bałagan.

[michal422]

Moje rozwiązanie:
-trójkąt w sześciokącie foremnym.
Zauważam że jeden z boków trójkąta przechodzi przez środek okręgu opisanego na sześciokącie(trójkąt jest prostokątny, zatem długość np. \(\displaystyle{ c=2r}\), później wnioskuje że \(\displaystyle{ a=r}\) i \(\displaystyle{ b= \sqrt{3}r}\).
Pole sześciokąta obliczam licząc pole 6 trójkątów o podstawie długości \(\displaystyle{ r}\) i wysokości (odpowiednio \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}, h_{6}}\). Wiemy również że \(\displaystyle{ h_{1}= h_{2}=h_{3}=h_{4}=h_{5}=h_{6}=\frac{ \sqrt{3} }{2}r}\)
\(\displaystyle{ P_{12}= \frac{1}{2} \cdot r \cdot 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}r=\frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot S_n}\) bo \(\displaystyle{ S_{n}=6r}\).

Czy to rozwiązanie jest poprawne dla sześciokąta foremnego?

[norwimaj]

Zgodzę się, że pole sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot r \cdot 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}r}\).

Nie zgadzam się, że jeśli \(\displaystyle{ S_{n}=6r}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot r \cdot 6 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}r=\frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot r \cdot S_n}\).

Czy to rozwiązanie jest poprawne dla sześciokąta foremnego?

Rozwiązanie czego? Jaka jest teza zadania, które rozwiązujesz?

[michal422]

Mam pokazać że za pomocą takie wzory mogę obliczać pole dowolnych wielokątów. Błąd rachunkowy w mianowniku winno być 4 a nie 2.

[norwimaj]

Konkretnie chciałbym wiedzieć, jakie szczególne zadanie rozwiązujesz za pomocą sześciokąta foremnego. Bo na pewno nie jest to poprawne rozwiązanie ogólnego zadania, które podałeś.