Dowód w trapezie

[szprot_w_oleju]

Mamy dowolny trapez ABCD (AB i CD to podstawy), E jest punktem przecięcia przekątnych.
Wykaż, że
\(\displaystyle{ P_{ABCD}= ( \sqrt{P_{ABE}} + \sqrt{P_{CDE}} )^{2}}\)

[major37]

Trójkąty ABE i CDE są podobne. Wyznacz skalę podobieństwa bo masz dane pola trójkątów ABE i CDE . Dalej wykaż że trójkąty AED i BEC mają równe pola. Potem wyznacz pole trójkąta EBC. Oblicz pole czworokąta ABCD.

[Qń]

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie rzutem \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ L}\) rzutem \(\displaystyle{ E}\) na \(\displaystyle{ CD}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ AB=a, CD=b, KE=h}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ CED}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{LE}{b}=\frac ha}\)
skąd \(\displaystyle{ LE= \frac{hb}{a}}\). W takim razie równość, której trzeba dowieść to:

\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \cdot \left( h+ \frac{hb}{a}\right) =\left( \sqrt{\frac{ah}{2}}+\sqrt{\frac{b^2h}{2a}}\right)^2}\)

Q.

[major37]

Ja myślałem o tym Niech pole trójkąta ABE to \(\displaystyle{ P _{1}}\) pole DEC to \(\displaystyle{ P _{2}}\) pole AED to \(\displaystyle{ P _{3}}\) pole EBC to \(\displaystyle{ P _{4}}\) i dalej h-wysokość trapezu \(\displaystyle{ DE=c}\) i \(\displaystyle{ EB=d}\) i w-wysokość trójkąta EBC i ECD z tego co pisałem w pierwszym poście nasza skala to \(\displaystyle{ k= \sqrt{ \frac{P _{1} }{P _{2} } }}\) z wykazaniem, że \(\displaystyle{ P _{3}=P _{4}}\) na pewno dasz radę i dalej wyznaczmy pole EBC \(\displaystyle{ k= \frac{d}{c}}\) więc \(\displaystyle{ \frac{P _{4} }{P _{2} }= \frac{ \frac{dw}{2} }{ \frac{cw}{2} }=k}\) więc \(\displaystyle{ P _{4}=k \cdot P _{2}= \sqrt{ \frac{P _{1} }{P _{2} } } \cdot P _{2}}\) pole trapezu to \(\displaystyle{ P _{1}+P _{2}+2 \sqrt{P _{1} \cdot P _{2} }=( \sqrt{P _{1} }+ \sqrt{P _{2} }) ^{2}}\)