Dowód na to, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg

[Kubeush]

Witam.
Tak jak w temacie. Potrzebuję to na dziś :<

Ratunku!
Z góry dziękuję za pomoc.

[Vax]

Wystarczy pokazać, że dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. A to wynika z definicji dwusiecznej, niech \(\displaystyle{ P}\) będzie przecięciem dwusiecznych \(\displaystyle{ \angle BAC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle CBA}\), wówczas skoro punkt \(\displaystyle{ P}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \angle BAC}\) jest równo oddalony od boków \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz \(\displaystyle{ |AC|}\), podobnie skoro leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \angle CBA}\) jest równo oddalony od boków \(\displaystyle{ |AB|}\) oraz \(\displaystyle{ |BC|}\), czyli dany punkt jest równo oddalony od wszystkich boków danego trójkąta, więc w musi leżeć na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \angle ACB}\) oraz jest środkiem okręgu wpisanego w dany trójkąt.

[bartek118]

Dwie metody:
- weź dowolny trójkąt i podaj konstrukcję takiego okręgu (gdzie leży środek?)
- wykorzystaj fakt, że suma kątów w trójkącie to 180 stopni, jakieś twierdzenie sinusów i powinno pójść

[Kubeush]

Czyli jaki mogę napisać dowód do tego (słowny)?

[bartek118]

Vax podał Ci dowód dokładnie taki jaki jest Ci potrzebny. Większość dowodów przecież pisze się głównie słownie.

[Kubeush]

Ok. Dzięki za pomoc.