Trójkąt prostokątny i 3 podpunkty do zadania

[Peres]

Witam. Mam problem z takim zadaniem :

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

a) Oblicz sinusy kątów ostrych
b) Oblicz stosunek pola trójkąta do pola okręgu opisanego na tym trójkącie
c) Wiedząc,że krótsza przyprostokątna ma długość 2cm oblicz promień koła wpisanego w ten trójkąt

Nie wiem jak ruszyć to zadanie, narazie zrobiłem tyle,że \(\displaystyle{ c = 2a -4}\)

i nie wiem co dalej z tym zrobić. Bawię się narazie twierdzeniem sinusów ale narazie nic nie wychodzi. Pozdrawiam

[anna_]

Mogę wiedzieć jak wyliczyłeś to \(\displaystyle{ c}\)?
Mam inny wynik.

[Peres]

Zrobiłem proporcję : \(\displaystyle{ \frac{a-b}{c} = \frac{1}{2}}\) i pomnożyłem to na krzyż, a z ostatniego podpunktu zadania wziąłem że \(\displaystyle{ b=2cm}\)

[anna_]

a)
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow a= \frac{2b+c}{2}}\)

Podstaw to do \(\displaystyle{ a^2+b^2=c^2}\) i policz \(\displaystyle{ c}\)

[Peres]

Wyszło mi że delta = \(\displaystyle{ 448}\) i takie pierwiastki dostałem : \(\displaystyle{ c _{1} = \frac{-8-4 \sqrt{28} }{-6} oraz c _{2} = \frac{-8+4 \sqrt{28} }{-6}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{a-b}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow a= \frac{2b+c}{2}}\)

\(\displaystyle{ (\frac{2b+c}{2})^2+b^2=c^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{8b^2 + 4bc + c^2}{4}=c^2}\)
\(\displaystyle{ -3c^2+4bc+8b^2=0}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{2-2 \sqrt{7} }{3} b}\) - odrzucamy bo \(\displaystyle{ <0}\)
lub
\(\displaystyle{ c= \frac{2+2 \sqrt{7} }{3} b}\)

[Peres]

czyli teraz z tego \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{a}{ \frac{2+2 \sqrt{7} }{3} b }}\) tak ? czy znów coś źle ?

[anna_]

Najpierw musisz policzyć \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{2b+c}{2}=b+ \frac{c}{2}=b+ \frac{\frac{2+2 \sqrt{7} }{3} b}{2}= \frac{4+ \sqrt{7} }{3} b}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{c} = \frac{\frac{4+ \sqrt{7} }{3} b}{\frac{2+2 \sqrt{7} }{3} b} =...}\)

\(\displaystyle{ sin\beta= \frac{b}{c}= \frac{b}{\frac{2+2 \sqrt{7} }{3} b} =...}\)