Metoda środka masy

[TPB]

Na bokach \(\displaystyle{ AB,BC,CD}\) i \(\displaystyle{ AD}\) czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) obrano odpowiednio punkty \(\displaystyle{ P,Q,R,S}\)w ten sposób, że \(\displaystyle{ \frac{PB}{AB}= \frac{RC}{CD}=p \in \left( 0,1\right)}\) oraz punkty \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ S}\) dzielą boki \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AD}\) na połowy. Odcinki \(\displaystyle{ QS}\) i \(\displaystyle{ PR}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{OQ}{QS}=p}\) i punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ O}\).

Czy następujące rozwiązanie jest poprawne?

Umieśćmy w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\) masy równe 1, a w punktach \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) równe \(\displaystyle{ \frac{1}{p}}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem masy odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Analogicznie dochodzimy do wniosku, że punkty \(\displaystyle{ P,R,S}\) są środkami masy odpowiednich boków czworokąta. W punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ R}\) umieszczone masy są sobie równe więc w połowie odcinka mamy punkt \(\displaystyle{ X}\) - środek masy odcinka, który jest jednocześnie środkiem masy czworokąta, taki punkt zawsze istnieje i jest jedyny. W punkcie \(\displaystyle{ S}\) skupiona jest masa równa 2, a w punkcie \(\displaystyle{ Q}\) \(\displaystyle{ \frac{2}{p}}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) dzieli więc ten odcinek w ten sposób, że \(\displaystyle{ \frac{XQ}{QS} = p}\). Pozostaje zauważyć, że punkt \(\displaystyle{ X}\) jest punktem przecięcia odcinków \(\displaystyle{ QS}\) i \(\displaystyle{ PR}\) (wynika to z faktu, ze punkt \(\displaystyle{ X}\) leży na obu odcinkach), a więc \(\displaystyle{ X=O}\). Stąd wynika teza.

Mam pewne wątpliwości z poprawnością metody środka masy. Czy dałoby się to jakoś przetłumaczyć na wektory? Wydaje mi się to jakoś "dziwne", że sobie pomieszczamy masy w pewien sprytny sposób potem dostaniemy tezę. Mam więc mieszane uczucia, co do tej metody, bo nie czuję tego, że jej rozwiązania są poprawne. Mógłby ktoś mi to objaśnić oraz sprawdzić poprawność powyższego rozumowania? Byłbym dozgonnie wdzięczny.

[Marcinek665]

Twoje wątpliwości są uzasadnione, bo rzeczywiście dziwnie operować jest czymś, co "na chłopski rozum" wydaje się działać, ale nie mamy ku temu żadnych dowodów.

Jeśli chcielibyśmy sformalizować fakty, z których tutaj korzystałeś, to można zapisać 2 najważniejsze:

• środek masy jest jeden i wyznaczony jednoznacznie;
• jeśli zamienimy pewną ilość punktów na jeden punkt położony w środku ciężkości układu tych punktów i o masie równej sumie mas tychże punktów, to środek ciężkosci całego układu nie zmieni się.

Dowód w oparciu o rachunek wektorowy jest prosty, ale nie będę go pisał, bo jest to czasochłonne, więc wrzucę pdfa, w którym fakty te są udowodnione, a ponadto zamieszczone jest parę zadań z tego działu (rozdział 28.)

Kod: Zaznacz cały

http://speedy.sh/YeuvG/w-005.pdf

Rozwiązanie oczywiście jest poprawne.

Pozdrawiam.

[TPB]

Bardzo dziękuję Ci za odpowiedź. Przejrzałem na razie dość powierzchownie, ale późnię bardziej się w to zagłębię. Dużo przykładów i teoria, czegoś takiego szukałem, bo korzystałem ze strzępkowych informacji na temat tej metody, a nie mogłem nic konkretnego znaleźć.

Wielkie dzięki jeszcze raz.