Trójkąty równoramienne, trapez i okręgi opisane/wpisane

[krzychas]

Słuchajcie mam problem z poniższymi zadaniami. Męczę się z nimi ponad 2h i nadal nic Pomożecie? Na poziomie I LO rozszerzenie.

Zad1 W trójkącie równoramiennym \(\displaystyle{ ABC}\) o ramionach \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) poprowadzono wysokość \(\displaystyle{ AD}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |AB|^{2} = 2|BD||BC|}\) (To zad. próbowałem zrobić dorysowując wys. \(\displaystyle{ BE}\) i z podobieństwa trójkątów, ale do niczego nie dochodzę.)

Zad2 W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB=10}\) i \(\displaystyle{ CD=9}\) przekątne przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ P}\). Oblicz stosunek \(\displaystyle{ \frac{CP}{CA}}\) (W tym ramiona przedłużyłem, że stworzyły trójkąt \(\displaystyle{ OCD}\). Tu również chciałem z podobieństwa, lecz zatrzymałem się w martwym punkcie.)

Zad3 W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość \(\displaystyle{ 2a,}\) wysokość opuszczona na podstawę ma dł. \(\displaystyle{ k}\). W trójkąt wpisano okrąg i poprowadzono styczną do okręgu równoległą do podstawy. Oblicz dł. promienia wpisanego okręgu i dł. odcinka stycznej zawartej w trójkącie. (Tu to wgl nie wiem od czego zacząć.)

Zad4 Oblicz promien okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równoramiennym o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) przy podstawie i wysokości \(\displaystyle{ k}\). Próbowałem ze wzorów na promienie, ale zorientowałem się że są tylko dla trójkątów równobocznych, więc nic nie wyszło)

Z góry dzięki za pomoc.

[anna_]

1.

AU

cf4111c5a90224d5.png (5.35 KiB) Przejrzano 75 razy

[/url]

Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ADC}\)
\(\displaystyle{ h^2=b^2-(b-x)^2\\h^2=2bx-x^2}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\)
\(\displaystyle{ a^2=h^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=2bx-x^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=2bx}\)
\(\displaystyle{ |AB|^{2} = 2|BD||BC|}\)

2. Według mnie jest za mało danych

[krzychas]

Dzięki wielkie, głupio mi trochę, że nie pomyślałem o pitagorasie. Jak jeszcze ktoś pomoże w trzecim i czwartym to w ogóle będzie świetnie

[wujomaro]

Zad 3
Najpierw oblicy długość ramienia, a potem promień okręgu wpisanego ze wzoru: \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c}}\)
A potem z podobieństwa trójkątów FBC i OEC. Link:
Zad 4
Najpierw funkcją \(\displaystyle{ \tg \alpha}\)obliczasz długość podstawy. Potem z tw. Pitagorasa obliczasz długosć ramienia. Następnie wzory:
Promień okręgu opisanego: \(\displaystyle{ R= \frac{a}{2 \sin \alpha }}\)
Promień okręgu wpisanego: \(\displaystyle{ R= \frac{2P}{a+b+c}}\)
Pozdrawiam!