rzędy przekształceń

[BlueSky]

Dla przekształcenia T jego rzędem nazywana jest najmniejsza taka liczba n, że przekształcenie \(\displaystyle{ T^n}\) (n-krotne złożenie T) jest przekształceniem tożsamościowym.

a) Znajdź rzędy kilku wybranych izometrii płaszczyzny.

b) Znajdź wszystkie izometrie płaszczyzny, których rząd wynosi 2,3,4,5.

UWAGA. Jeśli \(\displaystyle{ T^n}\) nigdy nie jest przekształceniem tożsamościowym, to mówimy, że przekształcenie T ma rząd nieskończony.

[JakimPL]

Symetria złożona ze sobą oczywiście jest przekształceniem tożsamościowym. Możemy znaleźć izometrię o dowolnym rzędzie, wystarczy rozważyć obrót o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest rzędem przekształcenia. Wystarczy się teraz zastanowić, czy poza izometriami jest sens badać rzędy przekształceń, a jeżeli nie, rozważyć skończoną grupę typów izometrii.