Dlaczego wielokąt ma tyle samo wierzchołków co boków?
-
veltuska
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 24 cze 2011, o 14:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1 raz
Dlaczego wielokąt ma tyle samo wierzchołków co boków?
Witam, pytanie które nurtuje mnie od rana to właśnie to, które widnieje w temacie: dlaczego wielokąt ma tyle samo wierzchołków co boków? Istnieje pewne intuicyjne wyjaśnienie, ale jaki dowód proponuje matematyk? Czy ktoś spotkał się z dowodem tego twierdzenia?
-
Majeskas
- Użytkownik
- Posty: 1456
- Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 49 razy
- Pomógł: 198 razy
Dlaczego wielokąt ma tyle samo wierzchołków co boków?
Wielokąt - Suma łamanej zwyczajnej zamkniętej i figury ograniczonej wyciętej przez nią z płaszczyzny.
Jeśli założymy, że jest to \(\displaystyle{ n}\)-kąt, ma on tyle boków, z ilu odcinków składa się rzeczona łamana. Z jej definicji wynika, że mamy do czynienia z ciągiem odcinków \(\displaystyle{ A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n,A_nA_1}\), a moc zbioru wyrazów tego ciągu to \(\displaystyle{ n}\).
-- 16 maja 2012, 17:04 --
Formalny dowód mógłby wyglądać tak:
Niech
\(\displaystyle{ a_m=\left\{\begin{array}{ll} A_mA_{m+1};&1\le m<n\\A_nA_1;&m=n \end{array}}\)
Z definicji łamanej zwyczajnej wiemy, że
1) żadne dwa odcinki o wspólnym wierzchołku nie są współliniowe;
2) wspólnym punktem dwóch odcinków może być tylko wspólny koniec tych odcinków;
3) dany punkt może być końcem co najwyżej dwóch odcinków
Z 1) wynika, że każdemu bokowi wielokąta odpowiada dokładnie jeden odcinek łamanej. W takim razie boków jest tyle ile różnych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_m)}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \#\left\{ a_m:\ m=1,2,\ldots,n\right\}\le n}\). Musimy pokazać, że moc tego zbioru nie może być mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\).
Załóżmy więc, że jest. Oznacza to, że dla pewnych \(\displaystyle{ i,j\in\left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\}}\)
\(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_jA_{j+1}}\) lub \(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_nA_1}\)
Przypadek 1: \(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_jA_{j+1}}\)
Z 2) i 3) wynika, że możemy rozpatrywać jedynie pary \(\displaystyle{ A_kA_{k+1},\,A_{k+1}A_{k+2}}\), gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots,n-2}\) (dla pozostałych par odcinki są rozłączne, więc w szczególności nie mogą być równe), oraz że odcinki te mogą być równe jedynie wtedy, gdy są zdegenerowane do punktów.
Ale wówczas mielibyśmy \(\displaystyle{ A_k=A_{k+1}=A_{k+2}}\), co oznaczałoby, że zbiór wierzchołków jest co najwyżej \(\displaystyle{ (n-2)}\)-elementowy, a z założenia wiemy, że jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowy. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla przypadku 2. Uzyskane sprzeczności dowodzą fałszywości hipotezy \(\displaystyle{ \#\left\{ a_m:\ m=1,2,\ldots,n\right\}<n}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ n}\)-kąt ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) boków.
Jeśli założymy, że jest to \(\displaystyle{ n}\)-kąt, ma on tyle boków, z ilu odcinków składa się rzeczona łamana. Z jej definicji wynika, że mamy do czynienia z ciągiem odcinków \(\displaystyle{ A_1A_2,A_2A_3,\ldots,A_{n-1}A_n,A_nA_1}\), a moc zbioru wyrazów tego ciągu to \(\displaystyle{ n}\).
-- 16 maja 2012, 17:04 --
Formalny dowód mógłby wyglądać tak:
Niech
\(\displaystyle{ a_m=\left\{\begin{array}{ll} A_mA_{m+1};&1\le m<n\\A_nA_1;&m=n \end{array}}\)
Z definicji łamanej zwyczajnej wiemy, że
1) żadne dwa odcinki o wspólnym wierzchołku nie są współliniowe;
2) wspólnym punktem dwóch odcinków może być tylko wspólny koniec tych odcinków;
3) dany punkt może być końcem co najwyżej dwóch odcinków
Z 1) wynika, że każdemu bokowi wielokąta odpowiada dokładnie jeden odcinek łamanej. W takim razie boków jest tyle ile różnych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_m)}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \#\left\{ a_m:\ m=1,2,\ldots,n\right\}\le n}\). Musimy pokazać, że moc tego zbioru nie może być mniejsza niż \(\displaystyle{ n}\).
Załóżmy więc, że jest. Oznacza to, że dla pewnych \(\displaystyle{ i,j\in\left\{ 1,2,\ldots,n-1\right\}}\)
\(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_jA_{j+1}}\) lub \(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_nA_1}\)
Przypadek 1: \(\displaystyle{ A_iA_{i+1}=A_jA_{j+1}}\)
Z 2) i 3) wynika, że możemy rozpatrywać jedynie pary \(\displaystyle{ A_kA_{k+1},\,A_{k+1}A_{k+2}}\), gdzie \(\displaystyle{ k=1,2,\ldots,n-2}\) (dla pozostałych par odcinki są rozłączne, więc w szczególności nie mogą być równe), oraz że odcinki te mogą być równe jedynie wtedy, gdy są zdegenerowane do punktów.
Ale wówczas mielibyśmy \(\displaystyle{ A_k=A_{k+1}=A_{k+2}}\), co oznaczałoby, że zbiór wierzchołków jest co najwyżej \(\displaystyle{ (n-2)}\)-elementowy, a z założenia wiemy, że jest \(\displaystyle{ n}\)-elementowy. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla przypadku 2. Uzyskane sprzeczności dowodzą fałszywości hipotezy \(\displaystyle{ \#\left\{ a_m:\ m=1,2,\ldots,n\right\}<n}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ n}\)-kąt ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) boków.