fragment koła

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 12 maja 2012, o 19:22

koło o promieniu \(\displaystyle{ r= \sqrt{2}}\) podzielono trzema równoległymi prostymi tak, ze średnica koła została podzielona na 4 równe częsci, rysunek przedtawiam w załączniku, muszę policzyć pole zaznaczonego na żółto obszaru, liczę na pomoc, wiem że można to rozwiązać za pomocą całki licząc obszar ponad tym zółtym ale nie wiem jak za to się zabarać, tzn umiałbym scałkować ale nie mam wprawy w zapisie działań więc podałem w dziale geometri.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 12 maja 2012, o 19:53

Nie trzeba wcale używać całek. Zauważ, że czerwoen pole to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) pola elipsy o promieniach \(\displaystyle{ \frac{r}{2}}\) i drugim nie znanym nam. Trzeba go policzyć. Najpierw z Tw. Pitagorasa obliczmy długość dłuższej niebieskiej kreski. Będzie ona wynosić \(\displaystyle{ \frac{r \sqrt{5} }{2} = \frac{ \sqrt{10} }{2}}\)
I teraz należy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, czyli:
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \frac{ \sqrt{10} }{2} }{ \sqrt{2} }= \frac{ \frac{ \sqrt{10} }{2} }{x}}\)
Gdzie x to drugi promień elipsy.
Potem obliczasz pole jednej ćwiartki koła, a następnie odejmujesz od tego 1/4 pola elipsy.
Pozdrawiam!

TPB · Post autor: **TPB** » 13 maja 2012, o 08:58

To nie będzie żadna elipsa. Po złączeniu wychodzi taki owal, ale elipsą on zdecydowanie nie jest.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 maja 2012, o 09:41

Ten fragment, to nie jest ani część elipsa ani część owalu.

Natomiast zaznaczone na żółto pole to różnica pól dwóch standardowych figur: "ćwiartki" koła i "połówki" odcinka koła.

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 13 maja 2012, o 10:01

no dobrze, znalazłem na wiki, ale jak mam wyznaczyć kąt??

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 maja 2012, o 10:22

Na żółtym polu połącz środek koła z punktem przecięcia okręgu z cięciwą nie będącą średnicą (prawy górny róg żółtego pola).
Otrzymasz w ten sposób trójkąt prostokątny w którym znasz długości dwóch boków.

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 13 maja 2012, o 10:39

znam tylko jeden bok przecież, r/2

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 maja 2012, o 10:47

A przeciwprostokątna nie jest promieniem tego okręgu? (przecież łączy środek okręgu z punktem leżącym na okręgu)

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 13 maja 2012, o 11:04

faktycznie hehe, czyli nasz kąt to 120 stopni.-- 13 maja 2012, o 11:13 --wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{16}}\)

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 maja 2012, o 11:28

Kąt jest OK, ale wynik nie bardzo (w wyrażeniu musi być zawarte \(\displaystyle{ \pi}\) ).
Napisz swoje obliczenia.

johnblansko · Post autor: **johnblansko** » 13 maja 2012, o 11:36

Mam pytanie czy to żółte pole nie jest po prostu 1/4 różnicy pola całego koła i elipsy?

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 13 maja 2012, o 11:37

wyszło mi bez pi, polec ćwiartki minus (pole odcinka/2)
w polu ćwiartki jest pi, a pole odcinka to wyrażenie ( pi minus ...), pi się skórciły, minus przed wynikiem zmienił sie na plus

johnblansko · Post autor: **johnblansko** » 13 maja 2012, o 11:40

mam 2 pytanko czy pole tej żółtej figury nie jest najłatwiej policzyć odejmując wycinek koła(czerwony) od pola całego koła? tylko jak policzyć ten wycinek elipsy?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 maja 2012, o 11:42

johnblansko, tam nie ma żadnej elipsy (dwa połączone ze sobą odcinki koła nie tworzą elipsy). Ponadto czerwony obszar to nie jest wycinek koła tylko odcinek koła.

okaokajoka, wiem, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest w obydwu wzorach, ale dla ćwiartki koła jest \(\displaystyle{ \frac{\pi r^2}{4}}\) natomiast dla połówki odcinka jest \(\displaystyle{ \frac{\pi r^2}{6}}\) i nie ma się tam co skrócić.

okaokajoka · Post autor: **okaokajoka** » 13 maja 2012, o 13:17

masz racje, pomyłka w liczeniu, wszystko wyszło, dzieki za pomoc