Witam
i proszę o sprawdzenie poprawnosci mojego rozwiązania.
Mam znaleźć liczbę przekątnych 18-kąta foremnego, których kwadrat długości jest liczbą całkowitą.
Według mnie jest ich 27, bo z każdego wierzchołka wychodzą 3 o długościach będących liczbami całkowitymi.
Natomiast w przypadku wielokąta o nieparzystej liczbie boków nie będzie takich przekątnych.
Czy dobrze dedukuję?
liczba przekątnych wielokata
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
liczba przekątnych wielokata
Przekątne to podstawy trójkątów równoramiennych o raminoach równych promieniowi i kątach między nimi równych wielokrotności \(\displaystyle{ \frac{360^o}{18}=20^o}\). Z tw. cosinusów mamy:
\(\displaystyle{ p^2=r^2+r^2-2r^2\cos\alpha=2r^2(1-\cos\alpha)=2(1-\cos\alpha)}\)
czyli pasuje \(\displaystyle{ \cos\alpha\in\left\{-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}}\), dla kątów \(\displaystyle{ \alpha\in\left\{ \pm 60^o,\pm 120^o,180^o\right\}}\), więc z każdego wierzchołka wychodzi \(\displaystyle{ 5}\) takich przekątnych
\(\displaystyle{ p^2=r^2+r^2-2r^2\cos\alpha=2r^2(1-\cos\alpha)=2(1-\cos\alpha)}\)
czyli pasuje \(\displaystyle{ \cos\alpha\in\left\{-1;-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\}}\), dla kątów \(\displaystyle{ \alpha\in\left\{ \pm 60^o,\pm 120^o,180^o\right\}}\), więc z każdego wierzchołka wychodzi \(\displaystyle{ 5}\) takich przekątnych