Elipsa i hiperbola

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 9 maja 2012, o 23:21

Niech będą dane (w standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych \(\displaystyle{ XOY}\)) elipsa i hiperbola mające wspólne ogniska.
Wyznaczyć wszystkie punkty wspólne dla obu krzywych i znaleźć miary wszystkich kątów wypukłych (o mierze mniejszej od \(\displaystyle{ 180^\circ}\)) pomiędzy stycznymi do elipsy oraz stycznymi do hiperboli w tych punktach.

Nie jest to pewnie specjalnie skomplikowane zadanie, są niby wzory, mam pewien pomysł żeby najpierw spróbować rozwiązać układ równań w celu znalezienia tych wspólnych punktów, później spróbować znaleźć równania stycznych w (co najmniej) jednym punkcie wspólnym (odpowiednio do hiperboli/elipsy), ale przekształcenia algebraiczne jakie przy tym sposobie trzeba wykonać wydają się być wręcz odstręczające (strasznie ich dużo)i sporo założeń po drodze.
Czy jest jakiś szybszy i dosyć elementarny sposób? Jeśli tak, to jaki?

Jacek_Karwatka · Post autor: **Jacek_Karwatka** » 10 maja 2012, o 09:31

Elipsa to zbiór punktów płaszczyzny których suma odległości od dwóch punktów (ognisk) jest stała. Przez każdy punkt płaszczyzny (poza odcinkiem łączącym ogniska) przechodzi jakaś elipsą o zadanych ogniskach.
Hiperbola to zbiór punktów płaszczyzny których różnica odległości od dwóch punktów (ognisk) jest stała. Przez każdy punkt płaszczyzny (poza osią symetrii ognisk) przechodzi jakaś hiperbola o zadanych ogniskach.
Jeśli dobrze pamiętam rozważając przyrost długości odległości od ogniska o1 i taki sam spadek odległości (dla elipsy) lub wzrost (dla hiperboli) odległości od ogniska o2 można wykazać ze styczne są ortogonalne. Jest to podstawa budowy elipsoidalnego współogniskowego układu współrzędnych.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 10 maja 2012, o 15:59

Ale tak czy owak muszę rozwiązać układ równań (elipsy i hiperboli) w celu wyznaczenia wszystkich wspólnych punktów (odgadnąć je i wykazać, że więcej nie ma, raczej nie jest łatwo)?

Jacek_Karwatka · Post autor: **Jacek_Karwatka** » 11 maja 2012, o 09:23

Jeśli chcesz zleżeć punkt (współrzędne przecięcia) mając konkretną elipsę i i hiperbolę to zadanie rzeczywiście jest uciążliwe. Jedak mając dany punkt i ogniska obu krzywych możną bez problemu podać równania, korzystając geometrycznej definicji tych krzywych.

Jeśli dobrze rozumiem zadanie to sformułowanie "Wyznaczyć wszystkie punkty wspólne dla obu krzywych ..." odnosi się do jakiejkolwiek elipsy i hiperboli o zadanych ogniskach. W tym wypadku zbiór punktów to cała płaszczyzna (bez prostej i odcinka) ponieważ przez każdy punkt (poza odcinkiem łączącym ogniska i osią symetrii ognisk) przechodzi jakaś elipsa i jakaś hiperbola o zadanych ogniskach. Aby to uzasadnić nie trzeba wykonywać obliczeń.

tatteredspire · Post autor: **tatteredspire** » 11 maja 2012, o 11:16

Ja zrozumiałem tak, że dana jest (jedna) elipsa przechodząca przez pewien punkt \(\displaystyle{ P(x_P,y_P)}\) i (jedna) hiperbola przechodząca przez pewien punkt \(\displaystyle{ Q(x_Q,y_Q)}\) (\(\displaystyle{ P,Q}\) to dane punkty) i obie mają wspólne ogniska (może błędnie, oczywiście nie jestem autorem zadania). Niemniej jednak dziękuję za wyjaśnienia i za zaproponowanie innego podejścia do zadania.