Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg

[max12333]

Mam problem z zadaniem:
Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 4 \sqrt{3}}\). Przekątna BD czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy \(\displaystyle{ \frac{3}{16}}\). Oblicz miary kątów czworokąta.

AU

HzadT6x.gif (2.58 KiB) Przejrzano 297 razy

Próbowałem to rozwiązać z tw. cosinusów
\(\displaystyle{ |BD| ^{2} = R ^{2} + R ^{2} - 2R ^{2} cos \angle BSD}\)
Zatem \(\displaystyle{ \angle BSD = 60 ^{\circ}}\)

A następnie \(\displaystyle{ \angle BAD = 2\angle BSD}\)

Więc \(\displaystyle{ \angle BAD = 30 ^{\circ}}\)
Niestety wg odpowiedzi \(\displaystyle{ \angle BAD = 60 ^{\circ}}\). Gdzie popełniam błąd?

[loitzl9006]

spróbuj nie z cosinusów, tylko z sinusów. Rozważ trójkąt \(\displaystyle{ BAD}\) i kąt \(\displaystyle{ \angle BAD}\):

\(\displaystyle{ \frac{\left| BD \right| }{\sin \left| \angle BAD \right| } = 2r}\)

gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu (opisanego na trójkącie).

[max12333]

Wiem, że tak można bo już wcześniej znalazłem rozwiązanie tego zad. w internecie, lecz chciałbym się dowiedzieć dlaczego moje początkowe rozumowanie było błędne

[loitzl9006]

Prawdopodobnie popełniłeś błąd rachunkowy, bo idea jest jak najbardziej dobra. Przy znalezieniu tego błędu pomocne będzie zamieszczenie swoich obliczeń na forum.

[Sherlock]

Zatem \(\displaystyle{ \angle BSD = 60 ^{\circ}}\)

winno wyjść \(\displaystyle{ cos \angle BSD=- \frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \angle BSD = 120 ^{\circ}}\)

A następnie \(\displaystyle{ \angle BAD = 2\angle BSD}\)

winno być \(\displaystyle{ 2\angle BAD = \angle BSD}\)

[max12333]

Rzeczywiście pomyliłem znaki/

Dzięki za pomoc