Wykaż, że czworokąt jest rownoległobokiem

[bakala12]

W czworokącie wypukłym suma kwadratów długości boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych. Wykaż, że ten czworokąt jest równoległobokiem.
Proszę o pomoc. Myślę, że należy skorzystać z twierdzenia cosinusów, niestety moje próby nie doprowadziły do niczego konkretnego.

[Vax]

Trochę nieelementarnie, ale w takich zadaniach warto czasem przejść na układ liczb zespolonych, bardzo szybko dostajemy tezę. Przyjmując pod odpowiednie wierzchołki współrzędne zespolone \(\displaystyle{ A(a) , B(b) , C(c) , D(d)}\) założenie ma równoważną postać:

\(\displaystyle{ (a-b)(\overline{a-b})+(b-c)(\overline{b-c})+(c-d)(\overline{c-d})+(d-a)(\overline{d-a}) = (a-c)(\overline{a-c})+(b-d)(\overline{b-d})}\)

Wymnażając to i grupując dostajemy:

\(\displaystyle{ (a+c-b-d)(\overline{a+c-b-d}) = 0 \Leftrightarrow |a+c-b-d|^2 = 0 \Leftrightarrow a+c=b+d}\) a to oznacza, że czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest równoległobokiem, qed.

[bakala12]

Dzięki Vax, Nie pomyślałem o takim spałowaniu

[timon92]

można też skorzystać z własności: niech \(\displaystyle{ M,N}\) będą środkami odcinków \(\displaystyle{ AC, BD}\). wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ 4MN^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2}\)

[bakala12]

timon92, dzięki za trochę bardziej eleganckie podejście do tego zadania.