przekątne równoległoboku

anitusia1994 · Post autor: **anitusia1994** » 4 maja 2012, o 19:47

Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), przekątne tego równoległoboku mają długości \(\displaystyle{ 3,5}\) cm i \(\displaystyle{ 0,5\sqrt{19}}\) cm. Wyznacz długości boków równoległoboku.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 4 maja 2012, o 20:17

Zbadaj, która z danych przekątnych jest dłuższa, a która krótsza. Następnie ułóż w oparciu o twierdzenie kosinusów układ równań zawierających dane długości przekątnych i miarę kąta oraz szukane długości boków równoległoboku.

anitusia1994 · Post autor: **anitusia1994** » 5 maja 2012, o 09:58

Po przekształceniu układu otrzymałam
\(\displaystyle{ 8,5= a^{2} + b^{2}}\) i \(\displaystyle{ 3,75=ab}\). Nie wiem jak to dalej rozwiązać.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 5 maja 2012, o 11:52

Z równania \(\displaystyle{ ab=3,75}\) wyznacz \(\displaystyle{ b}\) i wstaw otrzymane wyrażenie do równania \(\displaystyle{ 8,5=a^2+b^2}\). Po pomnożeniu stron uzyskanego równania przez \(\displaystyle{ a^2}\) i przeniesieniu wszystkich jednomianów na jedną stronę dostaniesz równanie dwukwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ a}\) (lub inaczej ujmując: równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ a^2}\)). Wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\displaystyle{ \Delta}\) jest łatwy do obliczenia, podobnie jak wartości wyrażenia \(\displaystyle{ a^2}\). Na koniec warto pamiętać, że \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą dodatnią jako długość odcinka. Na podstawie otrzymanych wartości \(\displaystyle{ a}\) wyznacz także \(\displaystyle{ b}\).