Udowodnij nierówność w czworokącie

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 4 maja 2012, o 18:56

W czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) są do siebie prostopadłe. Udowodnij, że \(\displaystyle{ AB+CD> AC}\), \(\displaystyle{ AB+CD>BD}\).

Jakieś wskazówki? Podejrzewam, że przyda się nierówność trójkąta.

marines27 · Post autor: **marines27** » 4 maja 2012, o 19:07

aniu_ta pisze: Udowodnij, że \(\displaystyle{ AB+CD> AC}\),

Tą nierówność można za pomocą tw. Pitagorasa

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 4 maja 2012, o 19:08

Niech K, L, M, N to środki boków i E przecięcie przekątnych. Zauważ, że odcinki KE, LE itp. to promienie okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Poszukaj tam nierówności trójkąta, np. niech K to środek AB, wtedy AK+KE>AE itp. dodać stronami i wyjdzie

aniu_ta · Post autor: **aniu_ta** » 4 maja 2012, o 19:23

tometomek91, oo, dziękuję czyli korzystając z tego, co napisałeś można udowodnić, że przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym jest dłuższa od każdej z przyprostokątnych, gdyż

w \(\displaystyle{ \Delta ABE \ \ EA<AK+KE=AK+KB=AB}\)

zatem \(\displaystyle{ AB+CD>AE+EC=AC}\)

dziękuję

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 4 maja 2012, o 20:33

no dokładnie