Brak pomysłu: Przekątne czworokąta wypukłego mają długości 2p i 2q, a odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są przystające. Oblicz pole tego czworokąta.
Wiem, że trzeba skorzystać z własności o środkach przekątnych i odcinkach łączących środki, ale co dalej?
Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
uzupełnij:
jeżeli połączysz środki boków czworokąta wypukłego, to otrzymasz...
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące .... czworokąta wyjściowego
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on ...
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest ..., to wyjściowy czworokąt wypukły jest ...
odpowiedź do zadania: 2pq
jeżeli połączysz środki boków czworokąta wypukłego, to otrzymasz...
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące .... czworokąta wyjściowego
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on ...
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest ..., to wyjściowy czworokąt wypukły jest ...
odpowiedź do zadania: 2pq
-
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 22 kwie 2012, o 14:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła
- Podziękował: 6 razy
Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
jeżeli połączysz środki boków czworokąta wypukłego, to otrzymasz równoległobok, którego bokami są połowy przekątnych(dzięki)
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta wyjściowego (dzięki)
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on kwadratem
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem? (wnioskuję, z odpowiedzi, ale dlaczego akurat rombem?)
EDIT: jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem
już wiem: odpowiednie odcinki łączące środki sąsiednich boków są do siebie prostopadłe; jeżeli są prostopadłe to znaczy, że przekątne też są do siebie prostopadłe (bo odpowiednie przekątne są równoległe do odpowiednich odcinków łączących środki sąsiednich boków)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot 2q=2pq}\)
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta wyjściowego (dzięki)
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on kwadratem
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem? (wnioskuję, z odpowiedzi, ale dlaczego akurat rombem?)
EDIT: jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem
już wiem: odpowiednie odcinki łączące środki sąsiednich boków są do siebie prostopadłe; jeżeli są prostopadłe to znaczy, że przekątne też są do siebie prostopadłe (bo odpowiednie przekątne są równoległe do odpowiednich odcinków łączących środki sąsiednich boków)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot 2q=2pq}\)
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on prostokątem... dalej rozumowanie idzie tak samo
-
- Użytkownik
- Posty: 16323
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3245 razy
Re: Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
Jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on prostokątem.
Dodano po 3 godzinach 19 minutach 50 sekundach:
Czworokąt wypukły nie musi być rombem.
Dodano po 22 godzinach 11 minutach 9 sekundach:
1. Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.
\(\displaystyle{ \Delta ABD\\\\ EG\parallel DB\\ |EG|=\frac{1}{2}|DB|=q}\)
\(\displaystyle{ \Delta ABC\\\\GF\parallel AC\\|GF|=\frac{1}{2}|AC|=p}\)
\(\displaystyle{ \Delta DBC\\\\HF\parallel DB\\|HF|=\frac{1}{2}|DB|=q }\)
\(\displaystyle{ \Delta ACD\\\\EH\parallel AC\\|EH|=\frac{1}{2}|AC|=p}\)
2. Czworokąt \(\displaystyle{ EGFH}\)
\(\displaystyle{ |EG|=|HF|=q\\|GF|=|EH|=p}\)
Czworokąt \(\displaystyle{ EGFH}\) jest więc równoległobokiem.
\(\displaystyle{ |EF|=|GH|}\) - przekątne
Równoległobok o równych przekątnych jest prostokątem.
\(\displaystyle{ |\angle EGF|=90^o\\EG\perp GF}\)
3. Pole \(\displaystyle{ ABCD}\)
Skoro \(\displaystyle{ EG\parallel b}\) i \(\displaystyle{ GF\parallel a}\), oraz \(\displaystyle{ EG\perp GF}\), to \(\displaystyle{ a \perp b}\).
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot 2q\cdot sin90^o\\P_{ABCD}=2pq}\)
Ostatnio zmieniony 17 sie 2023, o 01:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków
Wystarczy aby przekątne wyjściowego czworokąta były prostopadłe.