Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
JungleMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 kwie 2012, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła
Podziękował: 6 razy

Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: JungleMan »

Brak pomysłu: Przekątne czworokąta wypukłego mają długości 2p i 2q, a odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są przystające. Oblicz pole tego czworokąta.
Wiem, że trzeba skorzystać z własności o środkach przekątnych i odcinkach łączących środki, ale co dalej?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: klaustrofob »

uzupełnij:
jeżeli połączysz środki boków czworokąta wypukłego, to otrzymasz...
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące .... czworokąta wyjściowego
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on ...
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest ..., to wyjściowy czworokąt wypukły jest ...
odpowiedź do zadania: 2pq
JungleMan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 22 kwie 2012, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piła
Podziękował: 6 razy

Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: JungleMan »

jeżeli połączysz środki boków czworokąta wypukłego, to otrzymasz równoległobok, którego bokami są połowy przekątnych(dzięki)
przekątnymi otrzymanego wyżej czworokątna są odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta wyjściowego (dzięki)
jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on kwadratem
jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem? (wnioskuję, z odpowiedzi, ale dlaczego akurat rombem?)
EDIT: jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem
już wiem: odpowiednie odcinki łączące środki sąsiednich boków są do siebie prostopadłe; jeżeli są prostopadłe to znaczy, że przekątne też są do siebie prostopadłe (bo odpowiednie przekątne są równoległe do odpowiednich odcinków łączących środki sąsiednich boków)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot 2q=2pq}\)
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: klaustrofob »

jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on prostokątem... dalej rozumowanie idzie tak samo
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Re: Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: anna_ »

JungleMan pisze: 5 maja 2012, o 13:01 jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on kwadratem
Jeżeli przekątne równoległoboku są przystające, to jest on prostokątem.

Dodano po 3 godzinach 19 minutach 50 sekundach:
JungleMan pisze: 5 maja 2012, o 13:01 EDIT: jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem
Czworokąt wypukły nie musi być rombem.

Dodano po 22 godzinach 11 minutach 9 sekundach:
1. Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie tego boku.
\(\displaystyle{ \Delta ABD\\\\ EG\parallel DB\\ |EG|=\frac{1}{2}|DB|=q}\)

\(\displaystyle{ \Delta ABC\\\\GF\parallel AC\\|GF|=\frac{1}{2}|AC|=p}\)

\(\displaystyle{ \Delta DBC\\\\HF\parallel DB\\|HF|=\frac{1}{2}|DB|=q }\)

\(\displaystyle{ \Delta ACD\\\\EH\parallel AC\\|EH|=\frac{1}{2}|AC|=p}\)

2. Czworokąt \(\displaystyle{ EGFH}\)
\(\displaystyle{ |EG|=|HF|=q\\|GF|=|EH|=p}\)
Czworokąt \(\displaystyle{ EGFH}\) jest więc równoległobokiem.
\(\displaystyle{ |EF|=|GH|}\) - przekątne
Równoległobok o równych przekątnych jest prostokątem.
\(\displaystyle{ |\angle EGF|=90^o\\EG\perp GF}\)

3. Pole \(\displaystyle{ ABCD}\)
Skoro \(\displaystyle{ EG\parallel b}\) i \(\displaystyle{ GF\parallel a}\), oraz \(\displaystyle{ EG\perp GF}\), to \(\displaystyle{ a \perp b}\).
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot 2q\cdot sin90^o\\P_{ABCD}=2pq}\)
m22471729.png
Ostatnio zmieniony 17 sie 2023, o 01:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Czworokąt wypukły - przekątne i odcinki łączące środki boków

Post autor: kerajs »

anna_ pisze: 16 sie 2023, o 01:00
JungleMan pisze: 5 maja 2012, o 13:01 EDIT: jeżeli czworokąt powstały przez połączenie środków boków danego czworokąta wypukłego jest kwadratem, to wyjściowy czworokąt wypukły jest rombem
Czworokąt wypukły nie musi być rombem.
Wystarczy aby przekątne wyjściowego czworokąta były prostopadłe.
ODPOWIEDZ