okrąg wpisany w wycinek koła

[Czoczo]

Znalazłem to zadanie na forum jednak nie ma tam wskazówek które naprowadziłyby mnie na rozwiązanie więc ponawiam. zad. W wycinek koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i kącie środkowym \(\displaystyle{ \alpha}\) wpisano okrąg. Wyznacz długość promienia \(\displaystyle{ r}\) tego okręgu. Z góry dziękuję

[Sherlock]

Zauważ, że \(\displaystyle{ sin \frac{\alpha}{2}= \frac{r}{r+R-2r}}\)
PS rozwiązanie ma sens dla kąta środkowego \(\displaystyle{ \alpha \le 180^0}\)

[lukasz1804]

Zauważ najpierw, że środek okręgu znajduje się na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), gdyż odległość tego punktu od ramion kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równa (szukanej wartości \(\displaystyle{ r}\)).

Co więcej, odległość wierzchołka kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) od środka okręgu wynosi \(\displaystyle{ R-r}\) (wynika to ze styczności wewnętrznej okręgu do wycinka koła).

Rozważ trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest wspomniany odcinek długości \(\displaystyle{ R-r}\) zawarty w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), a jedną z przyprostokątnych jest promień okręgu \(\displaystyle{ r}\) poprowadzony do któregokolwiek ramienia kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) (druga przyprostokątna jest zawarta w tym ramieniu).

Z definicji sinusa kąta w trójkącie prostokątnym otrzymasz \(\displaystyle{ \frac{r}{R-r}=\sin\frac{\alpha}{2}}\).

[Czoczo]

Dziękuję bardzo teraz już wszystko jasne