Pole trójkąta równobocznego

[NumberOne]

Mam takie zadanie

*Wewnątrz trójkąta równobocznego ABC obrano taki pkt K, że jego odległość od boków AB, BC, AC są odpowiednio równe \(\displaystyle{ 4 \frac{1}{2}, 6, 7 \frac{1}{2}}\). Oblicz pole ABC.

Mógłby ktoś wskazać błąd w moim rozumowaniu?

Założyłam, że jak skorzystam z 2 z tw. cosinusów to otrzymam fragment ramienia do którego poprowadzono wysokości od pkt K . Jeżeli wykorzystam tą metodę 2 i zsumuję odcinki to powinnam otrzymać bok trójkąta równobocznego ABC.

\(\displaystyle{ (7,5) ^{2} + (4,5) ^{2} -2(7,5)(4,5)\cos120^\circ = 2x^2 -2x^2\cos60^\circ}\)
oraz
\(\displaystyle{ (4,5)^{2} + 36 -2(4,5)(6)cos\ 120^\circ = 2y^2 -2y^2\cos60^\circ}\)

Pole ABC \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}(x+y)^2}{4}}\)

Tą metodą wychodzą inne wyniki, a prawidłowy jest \(\displaystyle{ 108\sqrt{3}}\)

[Hausa]

Pole tego trójkąta to suma pól trójkątów \(\displaystyle{ ABK}\), \(\displaystyle{ ACK}\) i \(\displaystyle{ BCK}\), nie musisz wchodzić w tw. cosinusów

[lukasz1804]

Błędnie zakładasz, że trójkąty, dla których stosujesz twierdzenie kosinusów po prawych stronach zapisanych równości, są równoramienne. Różne wysokości poprowadzone z punktu \(\displaystyle{ K}\) dzielą boki trójkąta w różnym stosunku.

Alternatywna metoda rozwiązania tego zadania jest oparta na obserwacji, że suma długości danych wysokości opuszczonych z punktu \(\displaystyle{ K}\) jest równa długości wysokości trójkąta.