Trójkąt i okrąg na nim opisany

[pinky30cm]

Witam,
mam takie zadanie:

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są długości boków \(\displaystyle{ |AC|= 3}\), \(\displaystyle{ |BC|= 21}\). Wiadomo, że miara kąta \(\displaystyle{ ACB}\) jest dwa razy większa od miary kąta CAB. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.



Z tego co wymyśliłem, to muszę obliczyć sinus \(\displaystyle{ \alpha}\), aby wyliczyć promień z tw. sinusów. Do tego potrzebuję długości trzeciego boku. Trójkąt \(\displaystyle{ CDB}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ACB}\) (kkk) i skala podobieństwa wynosi \(\displaystyle{ k}\).
\(\displaystyle{ |DB| = 21 \cdot k}\)
\(\displaystyle{ |CD| = |AD| = 3 \cdot k =>}\)

\(\displaystyle{ |AB| = 21 \cdot k + 3 \cdot k = (21 + 3) \cdot k = 24 \cdot k}\)

Czy mogę tak zrobić:
\(\displaystyle{ 21 = |AB| \cdot k = 24 \cdot k^2}\)

Nie mam innego pomysłu na to zadanie, a odpowiedzi po rozwiązaniu równania powyżej dostaje jakieś dziwne.

[Sherlock]

Zauważ:
\(\displaystyle{ \frac{sin2\alpha}{|AB|}= \frac{sin\alpha}{21} \\ \frac{2sin\alpha cos\alpha}{|AB|}= \frac{sin\alpha}{21} \\ \frac{2cos\alpha}{|AB|}= \frac{1}{21}}\)
wyznacz cosinus i z tw cosinusów wylicz długość AB...

[pinky30cm]

Czyli jak rozumiem to co napisałem nie jest poprawne?

Jak mam wyznaczyć cos \(\displaystyle{ \alpha}\)? Gdybym go miał, to po prostu wyznaczyłbym sinus, a z niego już R, AB byłoby mi niepotrzebne.

[Sherlock]

Czyli jak rozumiem to co napisałem nie jest poprawne?

Poprawne. Wylicz k i wyznacz długość AB. Powinno wyjść \(\displaystyle{ |AB|=6 \sqrt{14}}\)

Jak mam wyznaczyć \(\displaystyle{ cos \alpha}\)?

\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{|AB|}{42}}\), podstaw do twierdzenia cosinusów i wyliczysz AB. To inny sposób rozwiązania zadania.

[pinky30cm]

Dzięki, zgadza się.
Dowiedziałem się jeszcze, że w jeszcze inny sposób można to zrobić obliczając trzeci kąt (wzór redukcyjny) i podstawiając do twierdzenia sinusów.

Możesz tylko jeszcze powiedzieć, dlaczego \(\displaystyle{ \cos \alpha= \frac{|AB|}{42}}\) ? Nie mogę wymyślić, skąd to wziąłeś.

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{2\cos \alpha}{|AB|}= \frac{1}{21} \\ 2\cos \alpha= \frac{|AB|}{21} \\ \cos \alpha= \frac{|AB|}{42}}\)