Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne paraboli \(\displaystyle{ y=x^2-5x+6}\) i prostej \(\displaystyle{ x-y+1=0}\), a którego środek należy do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 7x+3y-9=0}\) .
Znalazłem punkty wspólne, czyli \(\displaystyle{ A(1,2)}\) i \(\displaystyle{ B(5,6)}\). Teraz nie wiem co dalej robić. Jak narysowałem tą prostą i szkic okręgu, to ta prosta przechodzi przez odcinek \(\displaystyle{ AB}\)
Napisz równanie okręgu
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Napisz równanie okręgu
Gdzieś "zgubiłeś" znaczki plus lub minus w równaniach prostych i paraboli.
Skoro masz punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz wiesz, że punkt \(\displaystyle{ S(x;y)}\) będący środkiem okręgu leży na podanej prostej, to możesz rozwiązać układ równań składający się z tej prostej oraz zależności \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x+3y-9=0 \\ (x-5)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2 \end{cases}}\)
Zauważ, że w drugim równaniu drugie potęgi się skrócą i będziesz miał układ dwóch równań liniowych.
-- 21 kwi 2012, o 16:21 --
Nie ma to znaczenia dla rozwiązania zadania, ale prosta nie przechodzi przez odcinek \(\displaystyle{ AB}\) co widać tutaj:
Skoro masz punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz wiesz, że punkt \(\displaystyle{ S(x;y)}\) będący środkiem okręgu leży na podanej prostej, to możesz rozwiązać układ równań składający się z tej prostej oraz zależności \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) czyli równoważnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x+3y-9=0 \\ (x-5)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2 \end{cases}}\)
Zauważ, że w drugim równaniu drugie potęgi się skrócą i będziesz miał układ dwóch równań liniowych.
-- 21 kwi 2012, o 16:21 --
Nie ma to znaczenia dla rozwiązania zadania, ale prosta nie przechodzi przez odcinek \(\displaystyle{ AB}\) co widać tutaj:
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Napisz równanie okręgu
1. Skoro punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) leżą na okręgu to znaczy, że ich odległość od jego środka jest taka sama tzn. \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\)
Skoro punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na podanej prostej to znaczy, że jego współrzędne muszą spełniać równanie tej prostej. Z tych dwóch warunków wziął się wspomniany układ równań.
2. Drugie równanie w tym układzie wykorzystuje wzór na odległość dwóch punktów (po podniesieniu obydwu stron równania \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) do kwadratu).
3. Rozwiązaniem tego układu równań są współrzędne środka okręgu czyli punktu \(\displaystyle{ S(x;y)}\) (po przekształceniu otrzymasz prościutki układ równań który rozwiążesz bez problemu).
4. Znając współrzędne środka, łatwo obliczysz promień okręgu \(\displaystyle{ r=|SA|}\) i napiszesz równanie tego okręgu.
Skoro punkt \(\displaystyle{ S}\) leży na podanej prostej to znaczy, że jego współrzędne muszą spełniać równanie tej prostej. Z tych dwóch warunków wziął się wspomniany układ równań.
2. Drugie równanie w tym układzie wykorzystuje wzór na odległość dwóch punktów (po podniesieniu obydwu stron równania \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) do kwadratu).
3. Rozwiązaniem tego układu równań są współrzędne środka okręgu czyli punktu \(\displaystyle{ S(x;y)}\) (po przekształceniu otrzymasz prościutki układ równań który rozwiążesz bez problemu).
4. Znając współrzędne środka, łatwo obliczysz promień okręgu \(\displaystyle{ r=|SA|}\) i napiszesz równanie tego okręgu.
-
stanley12
- Użytkownik
- Posty: 197
- Rejestracja: 8 kwie 2012, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 1 raz
Napisz równanie okręgu
\(\displaystyle{ (x-5)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2}\) tego to ja nie czaje, co to jest za wzór, że do lewej strony daje się współrzędne jednego punktu? na co on jest?
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Napisz równanie okręgu
1. Znasz wzór na odległość dwóch punktów (czyli długość odcinka)?
2. Wiesz skąd jest równanie \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) ? Jeden i drugi odcinek to promienie tego samego okręgu. Czy nie jest logiczne, że długości tych odcinków muszą być równe? Właśnie z równości długości tych odcinków wzięło się drugie równanie.
-- 21 kwi 2012, o 17:10 --
Jeżeli punkt \(\displaystyle{ S}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ x \ i \ y}\) a punkt \(\displaystyle{ B}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ 5 \ i \ 6}\), to odległość tych punktów to:
\(\displaystyle{ |BS|= \sqrt{(x-5)^2+(y-6)^2}}\)
Analogicznie dla punktów \(\displaystyle{ S \ i \ A}\) mamy:
\(\displaystyle{ |AS|= \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)
Teraz przyrównujemy do siebie te odległości (długości odcinków) bo muszą być sobie równe:
\(\displaystyle{ |BS|=|AS| \\ \\ \sqrt{(x-5)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)
i po podniesieniu do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ (x-5)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2}\)
2. Wiesz skąd jest równanie \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) ? Jeden i drugi odcinek to promienie tego samego okręgu. Czy nie jest logiczne, że długości tych odcinków muszą być równe? Właśnie z równości długości tych odcinków wzięło się drugie równanie.
-- 21 kwi 2012, o 17:10 --
Jeżeli punkt \(\displaystyle{ S}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ x \ i \ y}\) a punkt \(\displaystyle{ B}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ 5 \ i \ 6}\), to odległość tych punktów to:
\(\displaystyle{ |BS|= \sqrt{(x-5)^2+(y-6)^2}}\)
Analogicznie dla punktów \(\displaystyle{ S \ i \ A}\) mamy:
\(\displaystyle{ |AS|= \sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)
Teraz przyrównujemy do siebie te odległości (długości odcinków) bo muszą być sobie równe:
\(\displaystyle{ |BS|=|AS| \\ \\ \sqrt{(x-5)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)
i po podniesieniu do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ (x-5)^2+(y-6)^2=(x-1)^2+(y-2)^2}\)
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2012, o 17:13 przez mat_61, łącznie zmieniany 1 raz.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Napisz równanie okręgu
Oczywiście, że to "co wychodzi" po przekształceniu drugiego równania to nie jest odległość.
To jest zapisany warunek, że te dwie odległości są równe (bo taki warunek musi być spełniony aby te punkty należały do okręgu). Razem z pierwszym równaniem mamy więc dwa warunki zapisane w postaci równań w których są dwie niewiadome (współrzędne środka okręgu). Są to warunki wynikające z własności okręgu oraz treści zadania. Rozwiązanie tego układu pozwala nam znaleźć te współrzędne (a to jest pośredni cel naszego zadania).
Natomiast interpretacja geometryczna tego drugiego równania jest taka, że jest to zbiór punktów jednakowo odległych od punktów A i B (bo takie zapisaliśmy równanie).
Natomiast zbiór punktów jednakowo odległych od dwóch ustalonych punków \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) to symetralna odcinka\(\displaystyle{ AB}\).
Jest to chyba logiczne, że środek okręgu musi leżeć na symetralnej każdej jego cięciwy.
Jeżeli teraz znajdziesz punkt wspólny tej symetralnej i podanej prostej (czyli rozwiążesz układ równań) to znajdziesz środek okręgu.
-- 21 kwi 2012, o 17:31 --
Oczywiście to zadanie możesz zrobić także w inny sposób, np.
1. Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) poprzez:
a) wyznaczenie współrzędnych \(\displaystyle{ P}\) środka odcinka \(\displaystyle{ AB}\)
b) napisanie równania prostej \(\displaystyle{ AB}\)
c) napisanie równania prostej \(\displaystyle{ k}\): prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\)
2) Znaleźć współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\) jako punktu przecięcia prostej \(\displaystyle{ k}\) i prostej podanej w zadaniu czyli prostej \(\displaystyle{ 7x+3y-9=0}\)
To jest zapisany warunek, że te dwie odległości są równe (bo taki warunek musi być spełniony aby te punkty należały do okręgu). Razem z pierwszym równaniem mamy więc dwa warunki zapisane w postaci równań w których są dwie niewiadome (współrzędne środka okręgu). Są to warunki wynikające z własności okręgu oraz treści zadania. Rozwiązanie tego układu pozwala nam znaleźć te współrzędne (a to jest pośredni cel naszego zadania).
Natomiast interpretacja geometryczna tego drugiego równania jest taka, że jest to zbiór punktów jednakowo odległych od punktów A i B (bo takie zapisaliśmy równanie).
Natomiast zbiór punktów jednakowo odległych od dwóch ustalonych punków \(\displaystyle{ A \ i \ B}\) to symetralna odcinka\(\displaystyle{ AB}\).
Jest to chyba logiczne, że środek okręgu musi leżeć na symetralnej każdej jego cięciwy.
Jeżeli teraz znajdziesz punkt wspólny tej symetralnej i podanej prostej (czyli rozwiążesz układ równań) to znajdziesz środek okręgu.
-- 21 kwi 2012, o 17:31 --
Oczywiście to zadanie możesz zrobić także w inny sposób, np.
1. Znaleźć równanie symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) poprzez:
a) wyznaczenie współrzędnych \(\displaystyle{ P}\) środka odcinka \(\displaystyle{ AB}\)
b) napisanie równania prostej \(\displaystyle{ AB}\)
c) napisanie równania prostej \(\displaystyle{ k}\): prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\)
2) Znaleźć współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\) jako punktu przecięcia prostej \(\displaystyle{ k}\) i prostej podanej w zadaniu czyli prostej \(\displaystyle{ 7x+3y-9=0}\)