Mam takie zadanie. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy dane: \(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{3} \ |ACB|= \frac{\pi}{2}}\). Przez wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) przeprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem \(\displaystyle{ AC}\) kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i przecięła bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) tak, że \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=1:3}\). Oblicz długości boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) oraz długośc odcinka \(\displaystyle{ CD}\).
Nie mam problemów z tym zadaniem. Umiem go rozwiązać jednak pojawiają mi się dwa przypadki, a odpowiedzi podają tylko jeden. Nie wiem na jakiej zasadzie odrzucić ten drugi przypadek. Pokrótce w celu wyjaśnienia przedstawię moje rozwiażanie.
Ozanczenia: \(\displaystyle{ |AD|=x \ |BD|=3x \ |CD|=z \ |BC|=y \ |CAD|=\alpha}\).
Z tw. sinusów w ACD:
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin \frac{\pi}{3} } = \frac{z}{\sin \alpha} \Rightarrow z= \frac{ \sqrt{3}y }{6} [\sin \alpha= \frac{y}{4x}]}\).
Dalej układ równań (tw. cosinusów w ACD i tw. Pitagorasa w ABC):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} = 3 + \frac{1}{12} y^{2}-2 \sqrt{3} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \\ 16x^{2}=3+y^{2} \end{cases}}\).
Po przekształceniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{2}-24y+135=0 \\ x^{2}= \frac{3+y^{2}}{16} \end{cases}}\).
Rozwiazuję ten układ równań i mam cztery przypadki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=9 \\ x= \frac{ \sqrt{84} }{4} \end{cases} \vee
\begin{cases} y=15 \\ x= \frac{ \sqrt{57} }{2} \end{cases}
\vee \begin{cases} y=9 \\ x= -\frac{ \sqrt{84} }{4} \end{cases}\vee
\begin{cases} y=15 \\ x= - \frac{ \sqrt{57} }{2} \end{cases}}\)
Dwa ostatnie odrzucam, ponieważ długośc odcinka nie może być ujemna. Pozostają więc ostatecznie dwa przypadki z nich odpowiedzi:
\(\displaystyle{ (|BC|=9 \wedge |AB|= \sqrt{84} \wedge |CD|=1,5 \sqrt{3}) \vee (|BC|=15 \wedge |AB|=2 \sqrt{57} \wedge |CD|=2,5 \sqrt{3})}\).
Drugi przypadek nie jest uwzględniony w odpowiedziach. Jedyne gdzie mógłbym go teoretycznie drzucić to przy sinusie, bo: \(\displaystyle{ \sin \alpha \in (0;1)}\). W obu przypadkjach jest to jednak spełnione. Tak, więc jaki założenie należy tutaj gdzieś zapisać? Czy może jednak dobrze rozwiązane jest zadanie?
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
- Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Jeśli dobrze rozumiem treść to kąt prosty leży przy wierzchołku B, przeciwprostokątna AC ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Według odpowiedzi przyprostokątne są dłuższe od przeciwprostokątnej? Treść przepisana dobrze?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Zgaduję, że miał być kąt prosty przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).
jezarek, dlaczego w tw. kosinusów masz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}2}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)?
Lepiej było robić tw. sinusów dla kąta \(\displaystyle{ \beta}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\).
\(\displaystyle{ \frac{z}{\sin \beta}=\frac{3x}{\frac12}}\),
\(\displaystyle{ z = 6x \sin \beta = 6x\cdot\frac{\sqrt{3}}{4x}=\frac32\sqrt{3}}\), zatem druga odpowiedź nie może być poprawna.
jezarek, dlaczego w tw. kosinusów masz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}2}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)?
Lepiej było robić tw. sinusów dla kąta \(\displaystyle{ \beta}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\).
\(\displaystyle{ \frac{z}{\sin \beta}=\frac{3x}{\frac12}}\),
\(\displaystyle{ z = 6x \sin \beta = 6x\cdot\frac{\sqrt{3}}{4x}=\frac32\sqrt{3}}\), zatem druga odpowiedź nie może być poprawna.
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Sherlock pisze:Jeśli dobrze rozumiem treść to kąt prosty leży przy wierzchołku B, przeciwprostokątna AC ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Według odpowiedzi przyprostokątne są dłuższe od przeciwprostokątnej? Treść przepisana dobrze?
Przepraszam literówki się wdarły. Kąt prosty jest przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).norwimaj pisze:Zgaduję, że miał być kąt prosty przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\)
Poprawiłem literówkę. Miało być tam w mianowniku \(\displaystyle{ 6}\), zamiast \(\displaystyle{ 2}\).norwimaj pisze: jezarek, dlaczego w tw. kosinusów masz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}2}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)?
A innego wyjaśnienia nie ma do odrzucenia tego mojego jednego przypadku? Ponieważ odrzucanie przypadku rozwiaznując innym sposobem zadanie, tak średni jakoś mi pasuje. Chociaż nie wiem, być może jest to jedyny sposób, by odrzucić moje rozwiązanie - tego nie wiem.norwimaj pisze:\(\displaystyle{ z = 6x \sin \beta = 6x\cdot\frac{\sqrt{3}}{4x}=\frac32\sqrt{3}}\), zatem druga odpowiedź nie może być poprawna.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Na pewno jest, ale to jedno jest bardzo proste i nie budzi wątpliwości, więc po co szukać innego?jezarek pisze: A innego wyjaśnienia nie ma do odrzucenia tego mojego jednego przypadku?
W swoim rozwiązaniu nie zadbałeś o to, żeby \(\displaystyle{ |\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CAD|}\), a jedynie o to, żeby \(\displaystyle{ \sin|\sphericalangle CAB|=\sin|\sphericalangle CAD|}\), stąd dwa rozwiązania. Rozwiązanie z kątem rozwartym \(\displaystyle{ CAD}\) należy odrzucić.jezarek pisze: Ponieważ odrzucanie przypadku rozwiaznując innym sposobem zadanie, tak średni jakoś mi pasuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 1017
- Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 167 razy
- Pomógł: 152 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Dlaczego szukać innego wyjaśnienia? Dlatego, że ty po prostu używając innego sposobu odrzucasz jedno rozwiażanie, a nie powołując się na jakieś założenie.
Co do drugiej części Twojej wypowiedzi. Jak mam to zapisać uzasadnić rachunkowo np.? Mam dwa obu przykadów wyliczyć cosinus i tam, gdzie wyjdzie ujemny rozwiażanie odrzucić?
Co do drugiej części Twojej wypowiedzi. Jak mam to zapisać uzasadnić rachunkowo np.? Mam dwa obu przykadów wyliczyć cosinus i tam, gdzie wyjdzie ujemny rozwiażanie odrzucić?
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Trójkąt prostokątny - jakie założenia?
Powołuję się na jakieś założenia, które są napisane w treści zadania.jezarek pisze: Dlatego, że ty po prostu używając innego sposobu odrzucasz jedno rozwiażanie, a nie powołując się na jakieś założenie.
Tak, to dobry sposób.jezarek pisze: Mam dwa obu przykadów wyliczyć cosinus i tam, gdzie wyjdzie ujemny rozwiażanie odrzucić?
Poza tym dość łatwo można pokazać, że trójkąt spełniający warunki zadania istnieje, więc pierwszej odpowiedzi nikt nie obali wskazując jakiś kolejny niespełniony warunek.