Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: squared »

Mam takie zadanie. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) mamy dane: \(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{3} \ |ACB|= \frac{\pi}{2}}\). Przez wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) przeprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem \(\displaystyle{ AC}\) kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) i przecięła bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) tak, że \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=1:3}\). Oblicz długości boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) oraz długośc odcinka \(\displaystyle{ CD}\).

Nie mam problemów z tym zadaniem. Umiem go rozwiązać jednak pojawiają mi się dwa przypadki, a odpowiedzi podają tylko jeden. Nie wiem na jakiej zasadzie odrzucić ten drugi przypadek. Pokrótce w celu wyjaśnienia przedstawię moje rozwiażanie.

Ozanczenia: \(\displaystyle{ |AD|=x \ |BD|=3x \ |CD|=z \ |BC|=y \ |CAD|=\alpha}\).

Z tw. sinusów w ACD:
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin \frac{\pi}{3} } = \frac{z}{\sin \alpha} \Rightarrow z= \frac{ \sqrt{3}y }{6} [\sin \alpha= \frac{y}{4x}]}\).

Dalej układ równań (tw. cosinusów w ACD i tw. Pitagorasa w ABC):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} = 3 + \frac{1}{12} y^{2}-2 \sqrt{3} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{6} \cdot \cos \frac{\pi}{3} \\ 16x^{2}=3+y^{2} \end{cases}}\).

Po przekształceniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y^{2}-24y+135=0 \\ x^{2}= \frac{3+y^{2}}{16} \end{cases}}\).

Rozwiazuję ten układ równań i mam cztery przypadki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=9 \\ x= \frac{ \sqrt{84} }{4} \end{cases} \vee
\begin{cases} y=15 \\ x= \frac{ \sqrt{57} }{2} \end{cases}
\vee \begin{cases} y=9 \\ x= -\frac{ \sqrt{84} }{4} \end{cases}\vee
\begin{cases} y=15 \\ x= - \frac{ \sqrt{57} }{2} \end{cases}}\)


Dwa ostatnie odrzucam, ponieważ długośc odcinka nie może być ujemna. Pozostają więc ostatecznie dwa przypadki z nich odpowiedzi:
\(\displaystyle{ (|BC|=9 \wedge |AB|= \sqrt{84} \wedge |CD|=1,5 \sqrt{3}) \vee (|BC|=15 \wedge |AB|=2 \sqrt{57} \wedge |CD|=2,5 \sqrt{3})}\).

Drugi przypadek nie jest uwzględniony w odpowiedziach. Jedyne gdzie mógłbym go teoretycznie drzucić to przy sinusie, bo: \(\displaystyle{ \sin \alpha \in (0;1)}\). W obu przypadkjach jest to jednak spełnione. Tak, więc jaki założenie należy tutaj gdzieś zapisać? Czy może jednak dobrze rozwiązane jest zadanie?
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2012, o 22:01 przez squared, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: Sherlock »

Jeśli dobrze rozumiem treść to kąt prosty leży przy wierzchołku B, przeciwprostokątna AC ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Według odpowiedzi przyprostokątne są dłuższe od przeciwprostokątnej? Treść przepisana dobrze?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: norwimaj »

Zgaduję, że miał być kąt prosty przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).

jezarek, dlaczego w tw. kosinusów masz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}2}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)?

Lepiej było robić tw. sinusów dla kąta \(\displaystyle{ \beta}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\).

\(\displaystyle{ \frac{z}{\sin \beta}=\frac{3x}{\frac12}}\),

\(\displaystyle{ z = 6x \sin \beta = 6x\cdot\frac{\sqrt{3}}{4x}=\frac32\sqrt{3}}\), zatem druga odpowiedź nie może być poprawna.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: squared »

Sherlock pisze:Jeśli dobrze rozumiem treść to kąt prosty leży przy wierzchołku B, przeciwprostokątna AC ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Według odpowiedzi przyprostokątne są dłuższe od przeciwprostokątnej? Treść przepisana dobrze?
norwimaj pisze:Zgaduję, że miał być kąt prosty przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\)
Przepraszam literówki się wdarły. Kąt prosty jest przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\).
norwimaj pisze: jezarek, dlaczego w tw. kosinusów masz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}2}\) zamiast \(\displaystyle{ z}\)?
Poprawiłem literówkę. Miało być tam w mianowniku \(\displaystyle{ 6}\), zamiast \(\displaystyle{ 2}\).
norwimaj pisze:\(\displaystyle{ z = 6x \sin \beta = 6x\cdot\frac{\sqrt{3}}{4x}=\frac32\sqrt{3}}\), zatem druga odpowiedź nie może być poprawna.
A innego wyjaśnienia nie ma do odrzucenia tego mojego jednego przypadku? Ponieważ odrzucanie przypadku rozwiaznując innym sposobem zadanie, tak średni jakoś mi pasuje. Chociaż nie wiem, być może jest to jedyny sposób, by odrzucić moje rozwiązanie - tego nie wiem.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: norwimaj »

jezarek pisze: A innego wyjaśnienia nie ma do odrzucenia tego mojego jednego przypadku?
Na pewno jest, ale to jedno jest bardzo proste i nie budzi wątpliwości, więc po co szukać innego?
jezarek pisze: Ponieważ odrzucanie przypadku rozwiaznując innym sposobem zadanie, tak średni jakoś mi pasuje.
W swoim rozwiązaniu nie zadbałeś o to, żeby \(\displaystyle{ |\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CAD|}\), a jedynie o to, żeby \(\displaystyle{ \sin|\sphericalangle CAB|=\sin|\sphericalangle CAD|}\), stąd dwa rozwiązania. Rozwiązanie z kątem rozwartym \(\displaystyle{ CAD}\) należy odrzucić.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: squared »

Dlaczego szukać innego wyjaśnienia? Dlatego, że ty po prostu używając innego sposobu odrzucasz jedno rozwiażanie, a nie powołując się na jakieś założenie.

Co do drugiej części Twojej wypowiedzi. Jak mam to zapisać uzasadnić rachunkowo np.? Mam dwa obu przykadów wyliczyć cosinus i tam, gdzie wyjdzie ujemny rozwiażanie odrzucić?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Trójkąt prostokątny - jakie założenia?

Post autor: norwimaj »

jezarek pisze: Dlatego, że ty po prostu używając innego sposobu odrzucasz jedno rozwiażanie, a nie powołując się na jakieś założenie.
Powołuję się na jakieś założenia, które są napisane w treści zadania.
jezarek pisze: Mam dwa obu przykadów wyliczyć cosinus i tam, gdzie wyjdzie ujemny rozwiażanie odrzucić?
Tak, to dobry sposób.

Poza tym dość łatwo można pokazać, że trójkąt spełniający warunki zadania istnieje, więc pierwszej odpowiedzi nikt nie obali wskazując jakiś kolejny niespełniony warunek.
ODPOWIEDZ