izometria - trzy równoramienne trójkąty na bokach trójkąta

[oneat]

Mam takie zadanko:

Dany jest trójkąt ABC. Na zewnątrz trójkąta ABC dorysowano trójkąty prostokątne równoramienne
ABP, BCQ, CAR, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R. Trójkąt
prostokątny równoramienny PQM, o kącie prostym przy wierzchołku M, nie leży na zewnątrz
trójkąta PQR. Wykazać, że punkt M jest środkiem odcinka AC.

Zrozumiałem że jeżeli zrobimy dwa obroty o 90 stopni względem P potem Q, to wystarczy udowodnić, że punkt stały znajduje się tam, gdzie powinien być punkt M (czyli w połowie AC), by udowodnić teze. Teraz mam pytanie: Jak to udowodnić?

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X'}\) obraz punktu \(\displaystyle{ X}\) po obrocie wokół \(\displaystyle{ P}\). Wtedy \(\displaystyle{ |\sphericalangle PBX'| = |\sphericalangle PAX| = 45^{\circ} + |\sphericalangle BAC|}\). Stąd łatwo można wyliczyć, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle QBX'| = |\sphericalangle QCX|}\) i dalej już widać, że obrazem \(\displaystyle{ X'}\) po drugim obrocie jest \(\displaystyle{ X}\).