Co ja tu źle policzyłem? Pole trójkąta.

[maturzysta123]

Rozwiązywałem zadanie, w którym miałem obliczyć sinus kąta. Zostało mi już najłatwiejsze. Jednak pole mi nie wyszło.

Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\)

\(\displaystyle{ AB=2 \\
BC= \sqrt{17} \\
AC=5}\)

Wysokość tego trójkąta jest równa \(\displaystyle{ 4}\), tak mi wyszło z wcześniejszych obliczeń. Przedłużyłem sobie bok \(\displaystyle{ AB}\) i do punktu \(\displaystyle{ C}\) narysowałem wysokość.

Ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{2} a \cdot h}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ 4}\)
Ze wzoru Herona wychodzi mi \(\displaystyle{ 8}\).

Co tu może być nie tak?

PS. Mam obliczyć sinus kąta \(\displaystyle{ ABC}\) jednak co innego mi wychodzi jak pole jest równe \(\displaystyle{ 8}\) a co innego jak pole jest równe \(\displaystyle{ 4}\) i liczę ze wzoru na pole \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha}\)

[Arcymistrz]

Pole powinno wyjść \(\displaystyle{ 4}\). Z twierdzenia cos.
\(\displaystyle{ \sqrt{17} ^{2}= 2^{2}+ 5^{2} -2 bc \cdot \cos \alpha}\)
Z tego wychodzi mi, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{3}{5}}\)
Z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ P=4}\)

Co do sin kata ABC
Z tw. cos \(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{ -\sqrt{17} }{17}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{4 \sqrt{17} }{17}}\)

Zaraz jeszcze obliczę z Herona
edit: zostałem uprzedzony

[mat_61]

[maturzysta123]

Ok, dzięki. Liczyłem z twierdzenia cosinusów i jedynki trygonometrycznej, następnie z \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot a \cdot h}\) i wyszło tak jak miało wyjść, natomiast chciałem sobie sprawdzić innym sposobem i coś się musiałem pomylić przy liczeniu ze wzoru Herona, bo tu inaczej mi wyszło. Pewnie jakiś błąd rachunkowy.

\(\displaystyle{ p= \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+ \sqrt{17} }{2}}\)

\(\displaystyle{ P= \sqrt{p \left( p-a \right) \left( p-b \right) \left( p-c \right) }\\
P= \sqrt{ \frac{7+ \sqrt{17} }{2} \left( \frac{7+ \sqrt{17} }{2} - \frac{4}{2} \right) \left( \frac{7+ \sqrt{17} }{2} - \frac{2 \sqrt{17} }{2} \right) \left( \frac{7+ \sqrt{17} }{2} - \frac{10}{2} \right) }}\)

Po uporządkowaniu doszedłem pod tym pierwiastkiem do wzoru skróconego mnożenia i mi się ładnie uprościło (to co pod pierwiastkiem pierwsze z trzecim, drugie z czwartym) do postaci...

\(\displaystyle{ P= \sqrt{ \frac{49-17}{2} \cdot \frac{17-9}{2} } = \sqrt{64} = 8}\)

***

PS. Właśnie znalazłem swój błąd. Nie pomnożyłem mianownika i powinno być \(\displaystyle{ P= \sqrt{ \frac{49-17}{4} \cdot \frac{17-9}{4} } = \sqrt{16} = 4}\)