Wykaż ,że trójkąt jest prosty

[gawli]

Dwa okręgi o różnych promieniach są styczne zewnętrznie w punkcie \(\displaystyle{ P}\).Prosta \(\displaystyle{ k}\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) .Wykaż ,że kąt\(\displaystyle{ APB}\) jest prosty.

[Merenik]

Odcinki \(\displaystyle{ \left| AS_{1} \right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left|S_{1}P \right|}\) są promieniami mniejszego koła, zatem kąty \(\displaystyle{ S_{1}AP}\) i \(\displaystyle{ S_{1}PA}\) są równe, oznaczamy je jako \(\displaystyle{ \alpha}\)
Analogicznie kąty \(\displaystyle{ S_{2}PB}\) i \(\displaystyle{ S_{2}BP = \beta}\)
Kąty \(\displaystyle{ S_{2}BA}\) i \(\displaystyle{ S_{1}AB = 90}\)
Zatem \(\displaystyle{ PAB = 90 - \alpha}\) i \(\displaystyle{ PBA = 90 - \beta}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow APB = \alpha + \beta}\)
Suma kątów przylegających do odcinka \(\displaystyle{ \left| S_{1} S_{2} \right|}\) jest równa \(\displaystyle{ 180 \Rightarrow 2 \alpha + 2 \beta = 180 \Rightarrow \alpha + \beta = 90}\)
Zatem szukany kąt jest prosty