W czworokącie wypukłym ABCD

[jbeb]

W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) na bokach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\) obrano odpowiednio punkty\(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) oraz oznaczono przez \(\displaystyle{ O}\) punkt przecięcia się odcinków \(\displaystyle{ AN}\) i \(\displaystyle{ CM}\). Wykaż, że jeśli w czworokąty \(\displaystyle{ AOCD}\) i \(\displaystyle{ BMON}\) można wpisać okrąg, to w czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) można także wpisać okrąg.

Jak to rozwiązać i dlaczego tak a nie inaczej?

[major37]

Niech punkty \(\displaystyle{ X,Y,Z,W}\) Będą punktami styczności okręgu wpisanego w czworokąt \(\displaystyle{ AOCD}\) z bokami \(\displaystyle{ AO,OC,CD,DA}\) tak samo w następnym czworokącie \(\displaystyle{ BMON}\) czyli punkty \(\displaystyle{ E,F,G,H}\) są punktami styczności. Wiemy że styczne są równej długości poprowadzone z jednego punktu. Więc \(\displaystyle{ AW=AX=AG-OG-OX=AE-OH-OY=AE-CH+CY=AE-CF+CZ}\) czyli \(\displaystyle{ AW+CF=AE+CY}\) ten sam zabieg z \(\displaystyle{ DW+BF=DZ+BE}\) Dodaj dwie ostatnie równości stronami i otrzymasz, że \(\displaystyle{ AB+CD=AD+BC}\) a to jest wystarczający warunek żeby w czworokąt wpisać okrąg