kwadrat, trójkąt, koło

[zenek781]

Kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości \(\displaystyle{ a}\) i trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ CDE}\) położone są względem siebie tak jak pokazano na rysunku. Na trójkącie opisano koło. Oblicz pole zacieniowanej figury.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/10e6/

[Sherlock]

Znamy długość boku trójkąta równobocznego - to po prostu \(\displaystyle{ a}\). Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Następnie od pola koła odejmij pole trójkąta. Weź z tej różnicy jedną trzecią i odejmij od pola kwadratu.

[zenek781]

robię wg twoich zaleceń, ale moje wyniki nie zgadzają się z odpowiedziami ;/
czy te wartości są dobre:
\(\displaystyle{ a) R = \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ b) r = \frac{a \sqrt{3}}{6}}\)

\(\displaystyle{ c) P_{\Delta} = \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ d) P_{\circ} = \frac{a^2}{12} \pi}\)

??

[Sherlock]

W punkcie b podałeś promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny zaś w punkcie d policzyłeś pole tego koła - w tym zadaniu to niepotrzebne.

1. Policz pole koła opisanego na trójkącie równobocznym (R masz już w punkcie a).
2. Od pola koła odejmij pole trójkąta (punkt c).
3. Wynik z punktu 2 podziel na 3.
4. Od pola kwadratu odejmij wynik z punktu 3.

[zenek781]

czy ten wynik jest poprawny :\(\displaystyle{ \frac{36a^2 - 4a^2 \pi + 3a^2 \sqrt{3} }{36}}\), bo w odp jest trochę inaczej, ale wydaje mi się, że tak też jest dobrze?

[Sherlock]

Ok, wyciągnąłbym jeszcze \(\displaystyle{ a^2}\) przed nawias. W jakiej postaci zapisali w odpowiedziach?

[zenek781]

\(\displaystyle{ \frac{36 - 4 \pi + 3 \sqrt{3} }{36}a^2}\)

[anna_]

No to wyłącz \(\displaystyle{ a^2}\) za ułamek