Może ktos z Was potrafiłby rozwiązac ?
1.Wykaż że pole prostokąta wpisanego w kwadrat o bokach równoległych do przekątnych kwadratu nie przekracza połowy pola kwadratu.
2.Dwa okręgi o promieniach 3 i 4 przecinają się w punktach A i B, a odległość ich środków wynosi 5. Przez punkt A poprowadzono prostą przecinającą jeden okrąg w punkcie C a drugi w punkcie D. Oblicz pole trójkąta BCD jeśli DC=10.
okręgi, trójkąt, prostokąt- 2 zadania
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
okręgi, trójkąt, prostokąt- 2 zadania
1. To znaczy, że suma pól odciętych z kwadratu przez boki prostokąta trójkątów prostokątnych jest równa co najmniej połowie pola kwadratu. Jeżeli jedna para trójkątów ma przyprostokątne długości \(\displaystyle{ x}\), to druga para ma przyprostokątne długości \(\displaystyle{ (a-x)}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest długością boku kwadratu. Wtedy suma pól trójkątów wynosi:
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{1}{2}\cdot x^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot (a-x)^2=x^2+(a-x)^2\ge 2\cdot\left(\frac{x+a-x}{2}\right)^2}\)
Ostatnia nierówność to przekształcona nierówność pomiędzy średnią kwadratową, a arytmetyczną.
2. Wszystko jest na rysunku:
Stwierdzamy, że trójkąt \(\displaystyle{ O_1O_2A}\) jest prostokątny (trójkąt \(\displaystyle{ 3-4-5}\)).
Wykazujemy równość kątów zaznaczonych na niebiesko na podstawie faktu oparcia \(\displaystyle{ \angle BO_2A}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BDA}\) na tym samym łuku oraz na podstawie symetrii.
To samo dla kątów zaznaczonych na czerwono.
Wobec dwóch powyższych faktów stwierdzamy równość kątów zaznaczonych na zielono.
Wobec trzech powyższych faktów stwierdzamy, że \(\displaystyle{ \triangle BCD\sim\triangle O_1O_2A}\).
Obliczamy skalę podobieństwa \(\displaystyle{ k=\frac{|DC|}{|O_1O_2|}}\) oraz pole \(\displaystyle{ S_{\triangle BCD}=k^2\cdot S_{\triangle O_1O_2A}}\)
Edit: Jedną z konsekwencji podobieństwa rozważanch trójkątów (a dokładniej skali podobieństwa) jest \(\displaystyle{ BD\supset BO_2}\) oraz \(\displaystyle{ BC\supset BO_1}\) i w efekcie \(\displaystyle{ CD\parallel O_1O_2}\). Widać stąd, że \(\displaystyle{ k=2}\) jest największym możliwym współczynnikiem skali (tzn. nie da się przez \(\displaystyle{ A}\) poprowadzić odcinka \(\displaystyle{ CD}\) o długości większej niż \(\displaystyle{ 10}\)).
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{1}{2}\cdot x^2+2\cdot\frac{1}{2}\cdot (a-x)^2=x^2+(a-x)^2\ge 2\cdot\left(\frac{x+a-x}{2}\right)^2}\)
Ostatnia nierówność to przekształcona nierówność pomiędzy średnią kwadratową, a arytmetyczną.
2. Wszystko jest na rysunku:
- AU
- Zir-1.jpg (19.79 KiB) Przejrzano 46 razy
Wykazujemy równość kątów zaznaczonych na niebiesko na podstawie faktu oparcia \(\displaystyle{ \angle BO_2A}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BDA}\) na tym samym łuku oraz na podstawie symetrii.
To samo dla kątów zaznaczonych na czerwono.
Wobec dwóch powyższych faktów stwierdzamy równość kątów zaznaczonych na zielono.
Wobec trzech powyższych faktów stwierdzamy, że \(\displaystyle{ \triangle BCD\sim\triangle O_1O_2A}\).
Obliczamy skalę podobieństwa \(\displaystyle{ k=\frac{|DC|}{|O_1O_2|}}\) oraz pole \(\displaystyle{ S_{\triangle BCD}=k^2\cdot S_{\triangle O_1O_2A}}\)
Edit: Jedną z konsekwencji podobieństwa rozważanch trójkątów (a dokładniej skali podobieństwa) jest \(\displaystyle{ BD\supset BO_2}\) oraz \(\displaystyle{ BC\supset BO_1}\) i w efekcie \(\displaystyle{ CD\parallel O_1O_2}\). Widać stąd, że \(\displaystyle{ k=2}\) jest największym możliwym współczynnikiem skali (tzn. nie da się przez \(\displaystyle{ A}\) poprowadzić odcinka \(\displaystyle{ CD}\) o długości większej niż \(\displaystyle{ 10}\)).