Najmniejsze pola

[mała193]

1)
W trójkąt równoboczny o boku \(\displaystyle{ a}\) wpisano inny trójkąt, którego wierzchołki odległe są o \(\displaystyle{ m}\) od odpowiednich wierzchołków trójkąta wyjściowego. Dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) trójkąt wpisany będzie miał najmniejsze pole?
2)
W kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) wpisano kwadrat, którego wierzchołki odległe są o \(\displaystyle{ m}\) od odpowiednich wierzchołków kwadratu wyjściowego. Dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) kwadrat wpisany będzie miał najmniejsze pole

[bosa_Nike]

Oba zadania rozwiązuje się analogicznie. Pola uzyskanych figur będą najmniejsze, jeżeli suma pól odciętych części będzie największa.

1. Mamy trzy trójkąty, każdy o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m(a-m)\sin\frac{\pi}{3}}\)

2. Mamy cztery trójkąty prostokątne, każdy o polu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}m(a-m)}\)