Czworokąt wpisany w okrąg

[kisiu111]

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg, punkt D lezy na okręgu i jest srodkiem łuku AB, nie zawierającego punktu C. Punkty K i L leżą na bokach AC i BC tak, że odcinek KL jest równoległy do boku AB. Punkty K' i L' różne od punktu D leżą na okręgu i odpowiednio na półprostych DK i DL. Udowodnić że czworokąt KLL'K' można wpisać w okrąg

[martaa]

Niech KL przecina okrąg w punktach X (bliżej K) i Y. Z
\(\displaystyle{ \angle XLD =\underline{\angle L\prime XL} +\overline{\angle XL\prime L}}\) (kąt zewn. trójkąta \(\displaystyle{ L \prime LX}\))
\(\displaystyle{ = \underline{\angle L \prime K\prime Y} + \overline{\angle DK\prime Y}}\) (oparte na łuku tej samej dł., bo krótsze łuki XA i BY są równe, gdyż XY || AB, natomiast krótsze łuki AD i DB są równe z założenia. Ich suma też jest równa, czyli XD = DY)
\(\displaystyle{ = \angle DK\prime L \prime}\)
Czyli \(\displaystyle{ \angle XLD =\angle DK\prime L \prime}\), co potwierdza tezę.

[kisiu111]

martaa czy moglabys troche jasniej opisac swoją odpoweidź, jeśli nie to itak dziękuje za ta pomoc

[martaa]

Czy teraz lepiej?

[kisiu111]

szczerze mowiac to nadal słabo

[martaa]

A co jest konkretnie niejasne?

[kisiu111]

ogolnie z tymi katami. Nie rozumiem juz pierwszej rownosci

[martaa]

Oznaczmy miary kątów \(\displaystyle{ \angle L'XL= \alpha \ \ \angle XL'L = \beta}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \angle XLL' = \pi - \alpha - \beta}\) (jako że suma kątów w trójkącie wynosi Π)
czyli
\(\displaystyle{ \angle XLD = \pi - \angle XLL' \\ = \pi - (\pi - \alpha - \beta ) = \alpha + \beta}\)
(1) \(\displaystyle{ \angle XLD = \alpha + \beta}\)

Zauważamy przy tym, że kąt o mierze α oparty jest na łuku L'Y (wiadomo, że chodzi o łuk nie zawierający punktu A) natomiast
(2) kąt β oparty jest na łuku XD.
Z treści zadania wynika, że łuki XA i YB zawarte są między równoległymi siecznymi XY i AB, stąd łuk XA jest równy łukowi YB. Oprócz tego łuk AD = DB (z założenia, że D dzieli łuk AB na połowy). Zatem XD = XA + AD = YB + BD = DY.
Wiemy, że kąty wpisane, oparte na łukach tej samej długości, są przystające. Kąt DK'Y oparty jest na łuku DY, zatem jego miara jest równa mierze kąta opartego na XD, czyli β (2).
(3) \(\displaystyle{ \angle DK'Y = \beta}\)
Ponieważ kąty L'XY i i L'K'Y oparte są na tym samym łuku L'Y, to mają równe miary, czyli:
(4) \(\displaystyle{ \angle L'K'Y = \alpha}\)
Sumując (3) i (4) dostajemy:
\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \angle L'K'Y + \angle DK'Y =\angle L'K'D}\)
Widzimy teraz, że kąty L'LX (\(\displaystyle{ \angle XLL' = \pi - \alpha - \beta}\) ) i L'K'D sumują się do kąta półpełnego. Zatem suma miar przeciwległych kątów w czworokącie KLL'K' wynosi Π, co dowodzi tego, że na tym czworokącie można opisać okrąg.