udowodnienie w trapezie który ma dwa kąty ostre

[major37]

Udowodnij, że w trapezie, który ma dwa kąty ostre przy jednej z podstaw, suma kwadratów przekątnych równa jest sumie podwojonego iloczynu dwóch boków równoległych i kwadratów pozostałych boków. To robię według mojego rysunku. Najpierw co mamy udowodnić \(\displaystyle{ e ^{2}+f ^{2}=2ab+c ^{2}+d ^{2}}\) spróbuje to udowodnić z twierdzenia kosinusów więc najpierw napisze dla trójkąta z kątem alfa a potem z tym \(\displaystyle{ 180 ^{o}- \alpha}\) więc \(\displaystyle{ f ^{2}=a ^{2}+d ^{2}-2ad \cos \alpha}\) a teraz wiemy że \(\displaystyle{ \cos 180 ^{o}- \alpha =- \cos \alpha}\) więc \(\displaystyle{ e ^{2}=d ^{2}+b ^{2}+2db \cos \alpha}\) teraz dodam obie równości stronami i otrzymuje \(\displaystyle{ e ^{2}+f ^{2}=2d ^{2}+a ^{2}+b ^{2}-2ad \cos \alpha +2db \cos \alpha}\) I teraz nie wiem jak dalej to przekształcić żeby sie pozbyć kosinusa i otrzymać to co mamy otrzymać. Proszę o jakąś wskazówkę.-- 16 mar 2012, o 10:48 -- ... 1464e.html

[anna_]

\(\displaystyle{ e ^{2}+f ^{2}=2d ^{2}+a ^{2}+b ^{2}-2d \cos \alpha(a-b)}\)

Poprowadź wysokości z wierzchołków kątów rozwartych.
Odcinek (na podstawie dolnej) po lewej oznacz \(\displaystyle{ x}\), po prawej \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{x}{d}}\)
\(\displaystyle{ d^2-x^2=c^2-y^2 \Rightarrow d^=c^2-y^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ a-b=x+y}\)

\(\displaystyle{ e ^{2}+f ^{2}=d ^{2}+d^2+a ^{2}+b ^{2}-2d \frac{x}{d} (x+y)}\)
\(\displaystyle{ e ^{2}+f ^{2}=d ^{2}+c^2-y^2+x^2+a ^{2}+b ^{2}-2x(x+y)}\)
opuścić nawiasy, poredukować potem zwinąc ze wzoru skróconego mnożenia i powtórnie podstawić \(\displaystyle{ a-b=x+y}\)

PS w necie jest prostszy dowód.