Środki ciężkości figur płaskich

[SwistakCZC]

Witam, czy moglibyście wyjaśnić mi gdzie znajdują się środki ciężkości podstawowych figur płaskich? Takich jak wycinek koła, łuk, dowolny trójkąt (jeśli się różnią to proszę opiszcie rózne przypadki), trapez.

Potrzebuję to na wytrzymałość materiałów, próbowałem szukać po internecie jednak bezskutecznie, zdobyłem egzemplarz książki do wytrzymałości materiałów dla technikum, ale tam też nie było takich podstawowych figur tylko całe układy. Pomożecie?

Ew. podajcie nazwę jakiejś książki gdzie mógłbym coś takiego znaleźć.

[szw1710]

Wyznaczanie środków ciężkości omawia Krysicki w tomie II w temacie Całki podwójne. Często można posłużyć się regułą Guldina. Mianowicie jednorodny obszar płaski obraca się wokół osi zewnętrznej. Wtedy objętość powstałej bryły wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ V=2\pi r_CS\,,}\)

gdzie \(\displaystyle{ r_C}\) jest odległością środka ciężkości od osi obrotu, a \(\displaystyle{ S}\) oznacza pole obszaru.

Dla przykładu wyznaczę środek ciężkości jednorodnego półkola o promieniu \(\displaystyle{ r.}\) Jego pole to \(\displaystyle{ S=\frac{\pi r^2}{2}.}\) Jest oczywiste, że środek ciężkości figury leży na jej osi symetrii (jeśli taka istnieje). Obracamy teraz półkole wokół średnicy i dostajemy kulę o objętości \(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}\pi r^3.}\) Z reguły Guldina mamy

\(\displaystyle{ V=2\pi r_CS\\[2ex]
\frac{4}{3}\pi r^3=2\pi r_C \frac{\pi r^2}{2}\\[2ex]
r_C=\frac{4r}{3\pi}}\)

A więc środek ciężkości jednorodnego półokręgu leży na osi symetrii w odległości \(\displaystyle{ \frac{4r}{3\pi}}\) od średnicy.

Trójkąt i trapez obrobisz ślicznie z reguły Guldina. Z wycinkiem koła musisz się pomęczyć. Chociaż... weź średnicę koła prostopadłą do osi symetrii wycinka. Objętość bryły obrotowej dość łatwo wyliczysz.

[SwistakCZC]

Wielkie dzięki