Oblicz długość przekątnej

[primabalerina01]

Kąt ostry równoległoboku ma miarę 30 stopni. Odległość punktu przecięcia przekątnych równoległoboku od jego boków są odpowiednio równe 2 oraz 6. oblicz długość krótszej przekątnej

Załączam obrazek mojego rysunku i prosze o sprawdzenie :



\(\displaystyle{ sin15^{\circ}= \frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ sin15^{\cric}=sin(45^{\cric}-30^{\cric)}= \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}= \frac{2}{e}}\)
\(\displaystyle{ e= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}}\)
Czyli długość całej przekątnej to będzie \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} = \frac{ \sqrt{6} + \sqrt{2} }{2}}\)

Czy tak jest dobrze policzone?

[Siddhartha]

Nie, tak nie jest dobrze bo przekątna nie musi być dwusieczną kąta. Oprócz tego wybrałeś na rysunku kąt rozwarty jako kąt 60 stopni.

Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to długości boków w równoległoboku. Wtedy wysokość równoległoboku poprowadzona na bok długości \(\displaystyle{ a}\) ma długość 4, a na bok długości \(\displaystyle{ b}\) ma długość 12. Pole równoległoboku możemy zapisać w następujący sposób:

\(\displaystyle{ P=4a=12b=\sin{30^{\circ}ab}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=3b\\4=\frac{1}{2}b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=24\\b=8\end{cases}}\)



Niech \(\displaystyle{ d}\) to sługość krótszej przekątnej, wtedy z tw. cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ d^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos{30^{\circ}}}\)

\(\displaystyle{ d^{2}=24^{2}+8^{2}-2\cdot 24\cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ d^{2}=576+64-192\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ d^{2}=640-192\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ d=\sqrt{640-192\sqrt{3}}=8\sqrt{10-3\sqrt{3}}}\)