Dowód jednej z własności równoległoboku

[darek20a]

Ostatnio powtarzając geometrię płaską spotkałem się z takim oto zadaniem:
Wykazać, że jeśli obie przekątne
czworokąta wypukłego dzielą go na dwa trójkąty o jednakowych polach, to jest on
równoległobokiem.
Każdy wie od podstawówki że to jedna z własności równoległoboku ale w jaki sposób to udowodnić?
Pozdrawiam

[anna_]

Z pól wyjdzie, że przekątne dzielą się na pół.

[darek20a]

Owszem da się ale to niewiele wnosi do rozwiązania. Probowalem z kątami wierzchołkowymi przy punkcie przecięcia przekątnych, potem poprowadziłem wysokości i wykazałem że utworzone w ten sposób trójkąty są podobne (cecha kkk) i niestety nie wiem co dalej. Ma ktoś pomysł na to zadanie?

[anna_]

Jak niewiele da?
Jeżeli w czrorokącie przekątne dzielą się na pół, to czworokąt jest równoległobokiem.

[Siddhartha]

Jeżeli mamy czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) i każda przekątna dzieli jego pole na połowy, to pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe polu trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\), czyli ich wysokości poprowadzone odpowiednio z z wierzchołków \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) na podstawę \(\displaystyle{ AB}\) są równe, a stąd prosta \(\displaystyle{ CD}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ AB}\). Analogicznie pokazuje się drugą równoległość.

[darek20a]

Ok rozumiem dzieki za pomoc.-- 11 mar 2012, o 22:24 --Ok rozumiem dzieki za pomoc.