środki symetrii
-
- Użytkownik
- Posty: 518
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kluczewsko
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 67 razy
środki symetrii
Czy istnieje figura(zbiór):
a) skończona( której promień jest skończony) o więcej niż 1 środku symetrii
b) nieskończona o n środkach symetrii, gdzie n>1
c)czy w innej niż euklidesowej metryce jest to możliwy któryś z powyższych przypadków.
a) skończona( której promień jest skończony) o więcej niż 1 środku symetrii
b) nieskończona o n środkach symetrii, gdzie n>1
c)czy w innej niż euklidesowej metryce jest to możliwy któryś z powyższych przypadków.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
środki symetrii
a) Załóżmy nie wprost, że istnieją dwa środki symetrii \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ O'}\). Poprowadźmy prostą \(\displaystyle{ OO'}\). Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie częścią wspólną naszej figury i tej prostej. Oczywiście do zbioru \(\displaystyle{ S}\) należą odbicia \(\displaystyle{ O}\) względem \(\displaystyle{ O'}\) zwane \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ O'}\) względem \(\displaystyle{ O}\) zwane \(\displaystyle{ Q}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ S}\) zawiera również punkty różne od \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ O'}\). Niech \(\displaystyle{ AB}\) będzie najdłuższym z odcinków o końcach w \(\displaystyle{ S}\). Oczywiście \(\displaystyle{ AB\neq OO'}\), bo choćby \(\displaystyle{ \left| PQ\right| >\left| AB\right|}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left| AO\right| >\left| BO\right|}\), wówczas gdy \(\displaystyle{ A'}\) będzie odbiciem \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ O}\) które oczywiście również należy do \(\displaystyle{ S}\), zajdzie \(\displaystyle{ \left| AA'\right| >\left| AB\right|}\) wbrew określeniu odcinka \(\displaystyle{ AB}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| AO\right| =\left| BO\right|}\). Analogicznie \(\displaystyle{ \left| AO'\right| =\left| BO'\right|}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ O=O'}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
środki symetrii
b) odbicie środka symetrii względem środka symetrii jest środkiem symetrii, więc jeśli istnieją dwa środki symetrii, to istnieje ich nieskończenie wiele
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
środki symetrii
to z tego, że nie może ich być dokładnie \(\displaystyle{ n}\) gdzie \(\displaystyle{ n>1}\) jest liczbą naturalną, a właśnie o to pyta ten podpunkt
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 9 maja 2014, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żagań
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
środki symetrii
Co do podpunktu c, to jeśli weźmiemy sferę, i założymy środki symetrii leżące na naprzeciw końcach sfery, to odbicie jednego środka symetrii, wobec drugiego, będzie leżało w tym samym miejscu, co przed odbiciem. Więc podobnie do podpunktu a możemy udowodnić, że te środki wzajemnie się nie wykluczają. Następnie załóżmy też, że na jednym z tych środków znajduje się środek koła Łatwo zobaczyć, że ta figura (koło), ma dwa punkty symetrii, które przed chwilą opisałem
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
środki symetrii
G5imm9ow, nie rozumiem o co Ci chodzi w Twoim przykładzie
w ogóle nie rozumiem o co chodzi w podpunkcie c), bo niby jaki związek ma metryka z definicją środka symetrii figury? Moim zdaniem nie ma żadnego. Napisz swoją definicję figury środkowosymetrycznej, to wszystko się rozjaśni
w ogóle nie rozumiem o co chodzi w podpunkcie c), bo niby jaki związek ma metryka z definicją środka symetrii figury? Moim zdaniem nie ma żadnego. Napisz swoją definicję figury środkowosymetrycznej, to wszystko się rozjaśni
-
- Użytkownik
- Posty: 15
- Rejestracja: 9 maja 2014, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Żagań
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 3 razy
środki symetrii
Moją definicją figury środkowosymetrycznej jest figura, która posiada środek symetrii , czyli po przekształceniu nie zmienia się. Jak rozpatrzysz mój przykład na przestrzeni sferycznej, zobaczysz o co chodzi...
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
środki symetrii
Wciąż nie rozumiem. Po jakim przekształceniu? Zgaduję, że chodzi o symetrię względem punktu. Jak wobec tego definiujesz symetrię względem punktu w dowolnej przestrzeni metrycznej?
Nie wiem, co to jest przestrzeń sferyczna. Jeśli chodzi o zwykłą sferę znaną ze szkoły, to z jaką metryką ją rozpatrujesz i co rozumiesz przez "odbicie względem punktu"?
Może niech autor tematu wyjaśni o co mu dokładnie chodzi.
Nie wiem, co to jest przestrzeń sferyczna. Jeśli chodzi o zwykłą sferę znaną ze szkoły, to z jaką metryką ją rozpatrujesz i co rozumiesz przez "odbicie względem punktu"?
Może niech autor tematu wyjaśni o co mu dokładnie chodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 518
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kluczewsko
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 67 razy
środki symetrii
Nie wiem czy to jest poprawnie zdefiniowane matematycznie, ale chodziło że symetria \(\displaystyle{ f[ ex] względem punktu \(\displaystyle{ O}\) w dowolnej przestrzeni metrycznej jako odwzorowanie takie
\(\displaystyle{ f_O(x)=y \Leftrightarrow \begin{cases} d(x,O)=d(y,O) \\ d(x,y)=\sup_a d(x,a) \end{cases}}\)}\)
\(\displaystyle{ f_O(x)=y \Leftrightarrow \begin{cases} d(x,O)=d(y,O) \\ d(x,y)=\sup_a d(x,a) \end{cases}}\)}\)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
środki symetrii
w niektórych przestrzeniach metrycznych ten wzór nie definiuje dobrze określonej funkcji, np. w przestrzeni dyskretnej \(\displaystyle{ (\mathbb R, d)}\) gdzie \(\displaystyle{ d(x,y) = \begin{cases} 0 \text{ dla } x = y \\ 1 \text{ dla } x \neq y \end{cases}}\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
środki symetrii
a) czy \(\displaystyle{ AB}\) musi istnieć ?
c)tu chyba można uściślić...
przydałby się dowód, że tak jest,
Ukryta treść:
Jak definiujesz symetrię ?