zadania maturalne

[zenek781]

1. Jeśli krótsza podstawa i ramiona trapezu równoramiennego mają równe długości i kąt między przekątną trapezu i dłuższą podstawą ma miarę \(\displaystyle{ 24^{\circ}}\) to jaką miarę ma kąt rozwarty tego trapezu? <------ Nie wiem skąd wziąc tu \(\displaystyle{ \sphericalangle |DAC|}\).

2. Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa\(\displaystyle{ 4}\). Oblicz bok kwadratu. -------> Mam podane rozwiązanie: \(\displaystyle{ a + a \sqrt{2} = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{1 + \sqrt{2} } \Leftrightarrow a = 4( \sqrt{2} - 1)}\). Nie rozumiem jak to zostało przekształcone.

3. W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna jest o 4 dłuższa od ramienia. Wyznacz długośc ramienia.

[Sherlock]

ad. 1
Trójkąty ABE i CDE są podobne (dlaczego?). Ponadto trójkąt ACD jest równoramienny. Co z tego wynika?

ad. 2
Usuń niewymierność z mianownika mnożąc licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (1- \sqrt{2})}\)
ad. 3
W zwykłym trójkącie prostokątnym równoramiennym jak wyrazisz przeciwprostokątną za pomocą przyprostokątnych (ramion)? Zauważ, że taki trójkąt stanowi połowę kwadratu... Ewentualnie skorzystaj z tw. Pitagorasa. Potem ułóż równanie o którym mowa w treści.

[zenek781]

2. Co zrobiono z tym \(\displaystyle{ a + a \sqrt{2} = 4}\) żeby otrzymac to \(\displaystyle{ a = \frac{4}{1 + \sqrt{2} }}\)

[Sherlock]

a przed nawias, potem dzielenie obu stron przez nawias...