Wyznacz stosunek promieni wiedząc, że:

[denatlu]

Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 60}\) stopni. Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.


Proszę o wskazówki jak dojść do rozwiązania .

[lestkievich]

dwie wskazówki: podobieństwo trójkątów.
połowka trójkąta równobocznego lub jak wolisz funkcje trygonometryczne.-- 2 mar 2012, o 16:24 --mi wyszło 1:3

[denatlu]

Dobra, ale od czego zacząć. Ja próbowałem sobie narysować to ale też mi jakoś dziwnie wychodzi. W zadaniu jest napisane:

Wspólne styczne dwóch okręgów

i to mi nie wychodzi.

[Sherlock]

Zauważ podobieństwo trójkątów o którym pisze lestkievich (trójkąt ACE i BCD) . Jak w trójkącie BCD możesz wyrazić długość przeciwprostokątnej BC? Jak w trójkącie ACE możesz wyrazić długość przeciwprostokątnej AC?

[denatlu]

Aha. To ja sobie wbiłem do głowy że tam jest wewnętrznie, i takie własnie ciągle rysowałem.

\(\displaystyle{ \left| BC\right| =2r}\)
\(\displaystyle{ \left| CA\right| =2R}\)
I co teraz?

[Sherlock]

Zauważ, że długość \(\displaystyle{ CA}\) to suma długości \(\displaystyle{ BC}\) oraz odcinka \(\displaystyle{ r+R}\).

[denatlu]

Ok, dalej zrobiłem to tak:

\(\displaystyle{ \left| CA\right| =3r+R}\)

Potem z rysunku odczytałem z tw. Talesa, że:

\(\displaystyle{ \frac{2r}{r} = \frac{3r+R}{R}}\)

\(\displaystyle{ 3r ^{2} +Rr=2Rr}\)
\(\displaystyle{ 3r ^{2}=Rr}\)
\(\displaystyle{ r(3r-R)=0}\)
\(\displaystyle{ 3r=R}\)

Z tego co pisał lestkievich to wynik jest dobry, ale czy takie obliczenia są odpowiednie ?

[Sherlock]

Potem z rysunku odczytałem z tw. Talesa, że:
\(\displaystyle{ \frac{2r}{r} = \frac{3r+R}{R}}\)

gwoli ścisłości proporcja wynika z podobieństwa trójkątów

Ok, dalej zrobiłem to tak: \(\displaystyle{ \left| CA\right| =3r+R}\)

skoro wiesz, że \(\displaystyle{ |CA|=2R}\) to szybciej wyliczymy z równania:
\(\displaystyle{ 2R=3r+R}\)

Z tego co pisał lestkievich to wynik jest dobry, ale czy takie obliczenia są odpowiednie ?

a co w nich nieodpowiedniego?