Pole trójkąta prostokątnego

[Dawidziu]

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o kącie ostrym \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) i promieniu r okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Chciałem skorzystać ze wzoru połowa obwodu razy promień okręgu wpisanego, ale nie wiem jak zapisać cały obwód za pomocą r i \(\displaystyle{ \alpha}\).

[anna_]

Z rysunku:
\(\displaystyle{ \ctg\alpha=\frac{b-r}{r}}\)
\(\displaystyle{ \ctg 2\alpha= \frac{b}{a}}\)

[Dawidziu]

W sumie sam wykombinowałem podobnie tylko z użyciem tangensów.
Otrzymałem pole równe \(\displaystyle{ \tan2\alpha*r}\)

Nie wiem jednak czy to dobre rozwiązanie, mogę zostawić w takiej postaci?

[anna_]

Zostawić możesz, tyle że jakoś podejrzanie prosty ten wzór wyszedł.
Przecież tam masz raz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), a raz \(\displaystyle{ 2\alpha}\)

[Dawidziu]

Też wydało mi się to dziwne,

\(\displaystyle{ a=\tan2\alpha -b}\)
\(\displaystyle{ a=\tan2\alpha -(\tan\alpha*r + r)}\)

Później z wykorzystaniem wzoru \(\displaystyle{ P= \frac{a+b+c}{2} *r}\)

[anna_]

Przecież to trójkąt prostokątny, więc pole to \(\displaystyle{ P= \frac{ab}{2}}\)
I jakim cudem masz taką wartość \(\displaystyle{ a}\)?

[Dawidziu]

Powinno być

\(\displaystyle{ a=\tan2\alpha *b}\)

Teraz już rozumiem zadanie, dziękuję za pomoc.