Dla jakiego m prosta jest styczna do okręgu

[denatlu]

Określ dla jakich wartości parametru m prosta k jest styczna do okręgu o, gdy:

o: \(\displaystyle{ (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2}=5}\)
k: \(\displaystyle{ y=m(x-1)-1}\)

Podstawiłem w równanie okręgu y. Wyszło mi skomplikowane równanie. Potem wyliczyłem z tego deltę.
Delta wyszła mi
\(\displaystyle{ \Delta =16m ^{2} -16m+4}\)

No i podwójnym miejscem zerowym tego jest \(\displaystyle{ m= \frac{1}{4}}\). A w odpowiedziach mam jak na złość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Tak więc nie wiem dlaczego.

[MarcinSzydlowski]

Tego typu zadania rozwiązujesz wnioskując o odległości prostej stycznej od środka okręgu. Odległość prostej stycznej do okręgu od środka tego okręgu, równa się bowiem długości promienia tego okręgu. Metoda przez podstawianie jest trudna i żmudna.

[piasek101]

Z Twojego masz \(\displaystyle{ 0,5}\).

[denatlu]

piasek101:

ale ostatecznie masz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ? I wychodzi Ci taka delta jak mi?


\(\displaystyle{ MarcinSzydlowski:}\)


W takim razie mam zastosować ten wzór:

\(\displaystyle{ r= \frac{\left|Ax _{2} +By _{s} +C \right| }{ \sqrt{A ^{2} +B ^{2} } }}\)

Co daje:

\(\displaystyle{ \sqrt{5} = \frac{\left|2m+4-m-1 \right| }{ \sqrt{m ^{2}+1 } }}\)

Chyba nie, bo potem delta mi wychodzi mniejsza od zera

[piasek101]

\(\displaystyle{ 16m^2-16m+4=0|:4}\)

\(\displaystyle{ (2m-1)^2=0}\)

\(\displaystyle{ m=0,5}\) (i to jest z Twojego)

[denatlu]

No tak, już to widzę, bo pomyliłem się z tego wszystkiego przy liczeniu tego pierwiastka. A jak liczyć, gdyby ta prosta miała być cięciwą, była rozłączna, albo przechodziła przez środek?

[anna_]

Cięciwa i średnica - \(\displaystyle{ \Delta>0}\)
rozłączna - \(\displaystyle{ \Delta<0}\)