Wykaż, że obwód czworokąta jest mniejszy od długości okregu

[dominik2908]

Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Z punktu A takiego, że |OA|= 2r, poprowadzono dwie styczne do okręgu. Styczne te przecinają okrąg w punkcie B i C. Wykaż, że obwód czworokąta ABOC jest mniejszy od długości okręgu.

[izaizaiza]

zrób rysunek i z Pitagorasa

[piternet]

Niech x - długość odcinka AB (i tym samym AC).
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta ABO:
\(\displaystyle{ x ^{2} + r ^{2} = (2r)^{2} \\
x ^{2} = 3r^{2} \\
x = r \sqrt{3}}\)
Długość okręgu to \(\displaystyle{ 2 \pi r}\), a obwód czworokąta ABOC: \(\displaystyle{ r + r + r \sqrt{3} + r \sqrt{3} = 2r(1 + \sqrt{3})}\).
\(\displaystyle{ 2r(1 + \sqrt{3}) < 2 \pi r \\
1 + \sqrt{3} < \pi \\ckd.}\)