Mam do rozwiązania zadanie-proszę o pomoc.
Dany jest trójkąt równoboczny o obwodzie 3a wpisany w okrąg o promieniu r. Konstruujemy sześciokąt foremny którego trzy wierzchołki pokrywają się z wierzchołkami trójkąta ( dokonując połowienia odpowiednich łuków okręgu). Oblicz pole sześciokąta, rozważ problem ogólny przyjmując za \(\displaystyle{ S_{n}}\) obwód n-kąta a za \(\displaystyle{ P_{n}}\) pole n-kata. Czy można rozwiązać to zadanie w przypadku wielokątów nieforemnych.
trójkąt i sześciokąt
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
trójkąt i sześciokąt
Z środka okręgu poprowadźmy promienie \(\displaystyle{ r}\) do każdego wierzchołka sześciokąta. Powstają trójkąty równoboczne o boku \(\displaystyle{ r}\). Zauważmy, że boki \(\displaystyle{ a}\) podzielone na połowy dają wysokości małych trójkątów równobocznych. Czyli:
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} = \frac{ r\sqrt{3} }{2} \\
a=r\sqrt{3}\\
r= \frac{a\sqrt{3}}{3} \\
P_{sz} = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3}= \frac{3}{2}\left( \frac{a\sqrt{3}}{3}\right) ^2\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{2} = \frac{ r\sqrt{3} }{2} \\
a=r\sqrt{3}\\
r= \frac{a\sqrt{3}}{3} \\
P_{sz} = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3}= \frac{3}{2}\left( \frac{a\sqrt{3}}{3}\right) ^2\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}\)