Odcinek laczacy srodki dwoch przechiwleglych bokow
-
Piotrek5000
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 23 paź 2010, o 22:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 2 razy
Odcinek laczacy srodki dwoch przechiwleglych bokow
Odcinek łączący środki dwóch przeciwległych boków czworokąta wypukłego dzieli ten czworokąt na dwie figury o równych polach. Czy taki czworokąt jest trapezem?
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Odcinek laczacy srodki dwoch przechiwleglych bokow
Tak.
Niech czworokątem będzie \(\displaystyle{ ABCD}\), \(\displaystyle{ K}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ L}\) środkiem boku \(\displaystyle{ CD}\). Pola trójkątów \(\displaystyle{ AKL}\) i \(\displaystyle{ BKL}\) są równe (równe podstawy i równe wysokości), więc pola trójkątów \(\displaystyle{ DAL}\) i \(\displaystyle{ CLB}\) też muszą być równe. Skoro zaś te trójkąty mają równe podstawy, to muszą też mieć równe wysokości. To zaś oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ CD}\) jest taka sama jak odległość punktu \(\displaystyle{ B}\) od tej prostej. A stąd prosty wniosek, że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\) są równoległe.
Q.
Niech czworokątem będzie \(\displaystyle{ ABCD}\), \(\displaystyle{ K}\) będzie środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\), a \(\displaystyle{ L}\) środkiem boku \(\displaystyle{ CD}\). Pola trójkątów \(\displaystyle{ AKL}\) i \(\displaystyle{ BKL}\) są równe (równe podstawy i równe wysokości), więc pola trójkątów \(\displaystyle{ DAL}\) i \(\displaystyle{ CLB}\) też muszą być równe. Skoro zaś te trójkąty mają równe podstawy, to muszą też mieć równe wysokości. To zaś oznacza, że odległość punktu \(\displaystyle{ A}\) od prostej \(\displaystyle{ CD}\) jest taka sama jak odległość punktu \(\displaystyle{ B}\) od tej prostej. A stąd prosty wniosek, że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ DC}\) są równoległe.
Q.