Okrąg wpisany w trójkąt równoramienny

[wiktor12348]

Witam serdecznie

Nie mogę rozumieć jak rozwiązać zadania z okręgiem wpisanym w trójkąt równoramiennym. O ile z prostokątnym i równobocznym nie mam problemu (podobieństwa i zależności boków i jazda) to z tym tak. Ktoś to może po ludzku wytłumaczyć ?

Widziałem jakieś rozwiązania z trygonometrią ale to czarna magia dla mnie.

Dam przykładowe zadanie:

1. Na okrąg o promieniu 3 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy wierzchołku 120 stopni. Oblicz długość boków tego trójkąta.

Mogę tylko powiedzieć od siebie że po poprowadzeniu wysokości tworzy się połowa trójkąta równobocznego (90-60-30 stopni). Promień R w powstałym trójkącie poprowadzony prostopadle do ramienia tworzy kolejny trójkąt który jest podobny do tego dużego. Widzę tylko podobieństwo ale nic z tego nie wynika.

[anna_]

AU

7f8dcddc7992f6ffmed.png (41.97 KiB) Przejrzano 76 razy

[/url]

Licz kolejno:

\(\displaystyle{ |CO|}\) z \(\displaystyle{ \sin60^o = \frac{3}{|OC|}}\)
\(\displaystyle{ |CD|=4+|OC|}\)
\(\displaystyle{ |DB|}\) z \(\displaystyle{ \tg60^o= \frac{|DB|}{|CD|}}\)
\(\displaystyle{ |CB|}\) z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\)

[wiktor12348]

No teraz mi się jasno zrobiło. Co prawda za r przyjęłaś 4 a jest 3 ale to mniej ważne.
\(\displaystyle{ |CD|=3+2 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ |BD|=3 \sqrt{3} +6}\)
\(\displaystyle{ |AB|=6( \sqrt{3}+2)}\)
Wszystko się zgadza do pewnej chwili.
\(\displaystyle{ |BC| ^{2} =(3 \sqrt{3} +6) ^{2}+ (3+2 \sqrt{3})^{2}}\)
\(\displaystyle{ |BC| ^{2} =84+48 \sqrt{3}}\)
I tutaj mam problem, co dalej. No chyba ze źle policzyłem ale sprawdzałem 2 razy.

[anna_]

\(\displaystyle{ |BC| ^{2} =84+48 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ |BC| = \sqrt{84+48 \sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ |BC|=4 \sqrt{3} +6}\)

Albo \(\displaystyle{ |BC|}\) policz z \(\displaystyle{ \cos 60^o}\) lub \(\displaystyle{ \sin60^o}\) dla trójkata \(\displaystyle{ DBC}\)

[wiktor12348]

No właśnie wiem że trzeba wyciągnąć ale tam wychodzi pierwiastek z pierwiastka - co już jest problemem.

Dobra dziękuje Ci bardzo, poradziłem sobie dzięki sinosowi.