okrąg wpisany w równoległobok

krzysiek111 · Post autor: **krzysiek111** » 12 lut 2007, o 23:00

Witam!

Mam problem z następującym zadaniem:
Punkty A, B, C i D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Wiedząc, że kąt ABC ma miarę120 stopni i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.

Boki mają wyjść 5 i 8, a pole \(\displaystyle{ 20\sqrt{3}}\). Jak do tego dojść?

darthez · Post autor: **darthez** » 13 lut 2007, o 02:01

Przydatne wzory na pole trójkąta:
1) \(\displaystyle{ S=\frac{x+y+z}{2}\*r\:}\)gdzie x,y,z to boki trójkąta,a r to promień okręgu wpisanego
2)\(\displaystyle{ S=\frac{x*y*sin\alpha}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to miara kąta pomiędzy bokami \(\displaystyle{ x,y}\)
Nazwijmy boki różnej długości danego równoległoboku jako \(\displaystyle{ x,y}\),a któtszą przekątną \(\displaystyle{ a}\)
Mamy z tw. cosinusów i z\(\displaystyle{ (x+y)^{2}=169}\),że:
\(\displaystyle{ a^{2}=169-3xy}\)
teraz stosujemy wzór 1) i 2) i uwzględniajac fakt, ze mamy do czynienia z równoległobokiem w wyniku elementarnych przekształceń mamy:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}xy=40\\x+y=13\end{array}}\) ,zatem:
\(\displaystyle{ x=8 y=5}\)

krzysiek111 · Post autor: **krzysiek111** » 13 lut 2007, o 13:36

\(\displaystyle{ (x+y)^2=169}\) - ok.
Ale z jakiej racji \(\displaystyle{ a^2=169-3xy}\)?
Skoro to z twierdzenia cosinusów, to gdzie tu cosinus
Jak zwykle nie rozumiem...

darthez · Post autor: **darthez** » 13 lut 2007, o 16:37

Ok, będzie wersja bez gwałtownych przeskoków , otóż z tw. cos., mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos60\\a^{2}=x^{2}+y^{2}-xy}\)
dalej mamy:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=169-2xy}\)
Podstawiamy i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^{2}=169-3xy}\)

skowron6 · Post autor: **skowron6** » 13 lut 2009, o 20:34

Byłbyś tak miły, i podał przekształcenia?-- 13 lutego 2009, 20:48 --bo nie wiem skąd masz xy=40