Witam
Punkt P jest punktem wewnętrznym obszaru kąta ostrego. Znaleźć na ramionach tego kąta takie punkty M i N, dla których obwód trójkąta MNP jest najmniejszy.
Ja nie wiem jak się wgl za nie wziąć. Dziękuję za pomoc
Punkt wewnątrz obszaru kąta ostrego
- JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Punkt wewnątrz obszaru kąta ostrego
Mamy kąt ostry wraz z dowolnym punktem \(\displaystyle{ P}\) w obszarze ograniczonym półprostymi:
\(\displaystyle{ \begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)
\thicklines
\put(0,0){\line(4,3){2}}
\put(0,0){\line(1,0){3}}
\put(0.8,0.2){$\alpha$}
\put(-0.4,-0.4){$A$}
\put(2,0.6){$\cdot P$}
\end{picture}
\end{center}}\)
285380.htm
Można to zadanie zrobić analitycznie (zawsze działa, jeżeli nie pamięta się twierdzeń geometrycznych). Oznaczmy punkt \(\displaystyle{ A}\) jako początek układu współrzędnych oraz jedną z półprostych pokrywającą się z osią \(\displaystyle{ OX}\) (na której będzie leżał punkt \(\displaystyle{ M}\)), wtedy:
\(\displaystyle{ y_{AM}=0 \\ y_{AN}=\tg \alpha \ x}\)
są równaniami prostych. Punkt \(\displaystyle{ P=(P_x,P_y)}\) leży we wnętrzu obszaru, a więc spełnia nierówności:
\(\displaystyle{ P_y>0 \wedge P_y<\tg \alpha \ P_x}\)
Punkt \(\displaystyle{ M}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y_{AM}}\) i ma współrzędne \(\displaystyle{ (M_x,0)}\), natomiast punkt \(\displaystyle{ N=(N_x,N_x \tg \alpha)}\).
Zadanie optymalizacyjne polega zatem na znalezieniu minimum (oczywiście dla parametrów spełniających warunki zadania):
\(\displaystyle{ |PM|+|MN|+|NP|}\)
Wyznaczmy długości poszczególnych odcinków z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |PM|=\sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}\\|MN|=\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}\\|NP|=\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}\)
\(\displaystyle{ P_x}\), \(\displaystyle{ P_y}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) są dane, jest to funkcja dwóch zmiennych \(\displaystyle{ N_x}\) oraz \(\displaystyle{ M_x}\). Niech:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}+\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}+\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}\)
Licząc pochodne raz względem \(\displaystyle{ N_x}\), a raz \(\displaystyle{ M_x}\) oraz przyrównując je do zera, otrzymuje się wyniki. Jest z tym dużo rachunków, dlatego rozwiązania analityczne proponuję zostawiać na koniec, gdy już nie ma innych pomysłów. Wyniki powinny się pokrywać z klasycznym rozwiązaniem (jednak wymaga to zinterpretowania wyników), ale - szczerze mówiąc - nie chce mi się tego sprawdzać .
\(\displaystyle{ \begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)
\thicklines
\put(0,0){\line(4,3){2}}
\put(0,0){\line(1,0){3}}
\put(0.8,0.2){$\alpha$}
\put(-0.4,-0.4){$A$}
\put(2,0.6){$\cdot P$}
\end{picture}
\end{center}}\)
285380.htm
Można to zadanie zrobić analitycznie (zawsze działa, jeżeli nie pamięta się twierdzeń geometrycznych). Oznaczmy punkt \(\displaystyle{ A}\) jako początek układu współrzędnych oraz jedną z półprostych pokrywającą się z osią \(\displaystyle{ OX}\) (na której będzie leżał punkt \(\displaystyle{ M}\)), wtedy:
\(\displaystyle{ y_{AM}=0 \\ y_{AN}=\tg \alpha \ x}\)
są równaniami prostych. Punkt \(\displaystyle{ P=(P_x,P_y)}\) leży we wnętrzu obszaru, a więc spełnia nierówności:
\(\displaystyle{ P_y>0 \wedge P_y<\tg \alpha \ P_x}\)
Punkt \(\displaystyle{ M}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y_{AM}}\) i ma współrzędne \(\displaystyle{ (M_x,0)}\), natomiast punkt \(\displaystyle{ N=(N_x,N_x \tg \alpha)}\).
Zadanie optymalizacyjne polega zatem na znalezieniu minimum (oczywiście dla parametrów spełniających warunki zadania):
\(\displaystyle{ |PM|+|MN|+|NP|}\)
Wyznaczmy długości poszczególnych odcinków z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |PM|=\sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}\\|MN|=\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}\\|NP|=\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}\)
\(\displaystyle{ P_x}\), \(\displaystyle{ P_y}\), \(\displaystyle{ \alpha}\) są dane, jest to funkcja dwóch zmiennych \(\displaystyle{ N_x}\) oraz \(\displaystyle{ M_x}\). Niech:
\(\displaystyle{ z = \sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}+\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}+\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}\)
Licząc pochodne raz względem \(\displaystyle{ N_x}\), a raz \(\displaystyle{ M_x}\) oraz przyrównując je do zera, otrzymuje się wyniki. Jest z tym dużo rachunków, dlatego rozwiązania analityczne proponuję zostawiać na koniec, gdy już nie ma innych pomysłów. Wyniki powinny się pokrywać z klasycznym rozwiązaniem (jednak wymaga to zinterpretowania wyników), ale - szczerze mówiąc - nie chce mi się tego sprawdzać .
-
- Użytkownik
- Posty: 197
- Rejestracja: 1 lip 2011, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Internet
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 13 razy
Punkt wewnątrz obszaru kąta ostrego
Hint: odbij symetrycznie punkt P względem obu ramion.
EDIT: nie zauważyłem początku poprzedniego rozwiązania, od razu spojrzałem na ten analityczny syf.
EDIT: nie zauważyłem początku poprzedniego rozwiązania, od razu spojrzałem na ten analityczny syf.