Punkt wewnątrz obszaru kąta ostrego

Vilishion · Post autor: **Vilishion** » 14 lut 2012, o 21:38

Witam
Punkt P jest punktem wewnętrznym obszaru kąta ostrego. Znaleźć na ramionach tego kąta takie punkty M i N, dla których obwód trójkąta MNP jest najmniejszy.

Ja nie wiem jak się wgl za nie wziąć. Dziękuję za pomoc

JakimPL · Post autor: **JakimPL** » 16 lut 2012, o 20:12

Mamy kąt ostry wraz z dowolnym punktem $\displaystyle{ P}$ w obszarze ograniczonym półprostymi:

$\displaystyle{ \begin{center}
\setlength{\unitlength}{0.8cm}
\begin{picture}(6,4)
\thicklines
\put(0,0){\line(4,3){2}}
\put(0,0){\line(1,0){3}}
\put(0.8,0.2){$\alpha$}
\put(-0.4,-0.4){$A$}
\put(2,0.6){$\cdot P$}
\end{picture}
\end{center}}$

285380.htm

Można to zadanie zrobić analitycznie (zawsze działa, jeżeli nie pamięta się twierdzeń geometrycznych). Oznaczmy punkt $\displaystyle{ A}$ jako początek układu współrzędnych oraz jedną z półprostych pokrywającą się z osią $\displaystyle{ OX}$ (na której będzie leżał punkt $\displaystyle{ M}$), wtedy:

$\displaystyle{ y_{AM}=0 \\ y_{AN}=\tg \alpha \ x}$

są równaniami prostych. Punkt $\displaystyle{ P=(P_x,P_y)}$ leży we wnętrzu obszaru, a więc spełnia nierówności:

$\displaystyle{ P_y>0 \wedge P_y<\tg \alpha \ P_x}$

Punkt $\displaystyle{ M}$ leży na prostej $\displaystyle{ y_{AM}}$ i ma współrzędne $\displaystyle{ (M_x,0)}$, natomiast punkt $\displaystyle{ N=(N_x,N_x \tg \alpha)}$.

Zadanie optymalizacyjne polega zatem na znalezieniu minimum (oczywiście dla parametrów spełniających warunki zadania):

$\displaystyle{ |PM|+|MN|+|NP|}$

Wyznaczmy długości poszczególnych odcinków z twierdzenia Pitagorasa:

$\displaystyle{ |PM|=\sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}\\|MN|=\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}\\|NP|=\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}$

$\displaystyle{ P_x}$, $\displaystyle{ P_y}$, $\displaystyle{ \alpha}$ są dane, jest to funkcja dwóch zmiennych $\displaystyle{ N_x}$ oraz $\displaystyle{ M_x}$. Niech:

$\displaystyle{ z = \sqrt{(P_x-M_x)^2+P_y^2}+\sqrt{(M_x-N_x)^2+(N_x \tg \alpha)^2}+\sqrt{(P_x-N_x)^2+(P_y-N_x \tg \alpha)^2}}$

Licząc pochodne raz względem $\displaystyle{ N_x}$, a raz $\displaystyle{ M_x}$ oraz przyrównując je do zera, otrzymuje się wyniki. Jest z tym dużo rachunków, dlatego rozwiązania analityczne proponuję zostawiać na koniec, gdy już nie ma innych pomysłów. Wyniki powinny się pokrywać z klasycznym rozwiązaniem (jednak wymaga to zinterpretowania wyników), ale - szczerze mówiąc - nie chce mi się tego sprawdzać .

Vilishion · Post autor: **Vilishion** » 16 lut 2012, o 20:38

Ok, dziękuję za pomoc

RSM · Post autor: **RSM** » 16 lut 2012, o 23:20

Hint: odbij symetrycznie punkt P względem obu ramion.

EDIT: nie zauważyłem początku poprzedniego rozwiązania, od razu spojrzałem na ten analityczny syf.