Witam. Mam problem z następującym zadaniem:
Pokazać, że odcinki : \(\displaystyle{ \left[k2^{-j},(k+1)2^{-j} \right]}\) dla \(\displaystyle{ j,k \in \mathbb{Z}}\) albo są rozłączne albo jeden zawiera się w drugim.
Z góry dziękuje za pomoc;)
odcinki diadyczne
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
odcinki diadyczne
Zauważmy,że ,że nasze odcinki są konstruowane natępująco:
1.Weź całą prostą i podziel na odcinki jednostkowe.To będzie rodzina
\(\displaystyle{ A_{0}=\{\[k,k+1\];k \in Z}}\) Następnie każdy z tych odcinków dzielimy na pół,potem na pół i tak dalejKolejne elementy
to będą \(\displaystyle{ A_{j}=\{[ \frac{k}{2^{j}}, \frac{k+1}{2^{j}\] ;k \in Z \}}\)
sumujemy po wszystkich J naturalnych.
Możemy konstrukcję rodziny rozszerzyć na całkowite poprzez ciągłe mnożenia przez 2. Nasza rodzina to jest suma \(\displaystyle{ \bigcup_{j \in Z}^{A_{j}}}\).Zauważmy,że jeżeli
\(\displaystyle{ A,B \in A_{j}}\) to \(\displaystyle{ A \cap B= \emptyset}\).
i jeżeli \(\displaystyle{ j \le k}\);\(\displaystyle{ A \in A_{j} \wedge B \in A_{k}}\) to \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
Obie uwagi wynikają z konstrukcji rodziny.
1.Weź całą prostą i podziel na odcinki jednostkowe.To będzie rodzina
\(\displaystyle{ A_{0}=\{\[k,k+1\];k \in Z}}\) Następnie każdy z tych odcinków dzielimy na pół,potem na pół i tak dalejKolejne elementy
to będą \(\displaystyle{ A_{j}=\{[ \frac{k}{2^{j}}, \frac{k+1}{2^{j}\] ;k \in Z \}}\)
sumujemy po wszystkich J naturalnych.
Możemy konstrukcję rodziny rozszerzyć na całkowite poprzez ciągłe mnożenia przez 2. Nasza rodzina to jest suma \(\displaystyle{ \bigcup_{j \in Z}^{A_{j}}}\).Zauważmy,że jeżeli
\(\displaystyle{ A,B \in A_{j}}\) to \(\displaystyle{ A \cap B= \emptyset}\).
i jeżeli \(\displaystyle{ j \le k}\);\(\displaystyle{ A \in A_{j} \wedge B \in A_{k}}\) to \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
Obie uwagi wynikają z konstrukcji rodziny.