Dowolny punkt w czworokącie...

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
marcin195
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 wrz 2009, o 17:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warsaw
Podziękował: 6 razy

Dowolny punkt w czworokącie...

Post autor: marcin195 »

Punkt P jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz czworokąta ABCD. Wykaż, że jeśli punkty E, F, G, H są środkami boków AB, BC, CD i AD, to suma pól czworokątów EBFP i HPGD jest równa połowie pola czworokąta ABCD
Ostatnio zmieniony 12 lut 2012, o 14:08 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Freddy Eliot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 402
Rejestracja: 11 kwie 2011, o 19:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 88 razy

Dowolny punkt w czworokącie...

Post autor: Freddy Eliot »


Mamy jakiś czworokąt. Powyżej znajduje się rysunek pomocniczy.
Zauważ, że pola trojkątów:
\(\displaystyle{ P_{AEP}=P_{EBP}=P_{1} \\ P_{BFP}=P_{FCP}=P_{2} \\ ...}\)
Czyli
\(\displaystyle{ P_{EBFP}=P_{EBP}+P_{BFP}, \\ P_{GDHP}=P_{PGD}+P_{DHP}, \\ P_{FCGP}=P_{FCP}+P_{CGP}, \\ P_{AEPH}=P_{AEP}+P_{AHP}. \\[2ex]}\)
Teraz oblicz \(\displaystyle{ P_{EBFP}+P_{GDHP},}\) a także \(\displaystyle{ P_{FCGP}+P_{AEPH}.}\)
Jeśli porównamy je ze sobą i podstawimy odpowiednio \(\displaystyle{ P_{1}, \ P_{2}, \ ...,}\) to zauważymy, że pola są równe. Jeśli sumy tych pól sa takie same, to każde z nich musi być równe połowie pola czworokąta \(\displaystyle{ ABCD.}\)
ODPOWIEDZ