Czy pomożecie mi zrobić takie zadanko?
Podstawą ostrosłupa ABCD jest równoległobok ABCD, punkt S jest wierzchołkie, punkt A spodkiem wysokości. Okręgi wpisane w ściany SBC i SDC są styczne. Wykazać, że podstawą jest romb.
Ostrosłup ma romb jako podstawe?
-
monika_gorki
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 15 maja 2012, o 15:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
Ostrosłup ma romb jako podstawe?
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}=r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2}r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}= \frac{1}{2} arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}=\pi r^2 \\}\)
-- 15 maja 2012, o 19:16 --
\(\displaystyle{ r^2= \sqrt{r^2-x^2}}\)
-- 15 maja 2012, o 19:51 --
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}=r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2}r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}= \frac{1}{2} arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 = \frac{\pi r^2}{4} \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}=4 \frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2 \\}\)-- 15 maja 2012, o 20:29 --\(\displaystyle{ \int_{}^{} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2} r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2} r^2 arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 = \frac{\pi r^2}{4} \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}=4 \frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2 \\}\)
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}=r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2}r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}= \frac{1}{2} arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}=\pi r^2 \\}\)
-- 15 maja 2012, o 19:16 --
\(\displaystyle{ r^2= \sqrt{r^2-x^2}}\)
-- 15 maja 2012, o 19:51 --
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}=r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2}r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}= \frac{1}{2} arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 = \frac{\pi r^2}{4} \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{a^2-x^2}=4 \frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2 \\}\)-- 15 maja 2012, o 20:29 --\(\displaystyle{ \int_{}^{} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}dx\\
\int_{}^{}\sqrt{r^2-x^2}dx= \int_{}^{} \frac{r^2-x^2}{ \sqrt{r^2-x^2} }dx=r^2 \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx+ \int_{}^{} \frac{-x^2}{ \sqrt[]{r^2-x^2} }dx=r^2arcsin \frac{x}{r}+x \sqrt{r^2-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{ r^2-x^2}dx \\
2 \int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= r^2arcsin \frac{x}{r} + x \sqrt{r^2-x^2} \qquad /:2 \\
\int_{}^{} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2} r^2 arcsin \frac{x}{r} + \frac{1}{2}x \sqrt{r^2-x^2} \\
\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}= \frac{1}{2} r^2 arcsin1+ \frac{1}{r}r \sqrt{r^2-x^2}= \frac{\pi}{4}r^2+0 = \frac{\pi r^2}{4} \\
4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-x^2}=4 \frac{\pi r^2}{4}=\pi r^2 \\}\)
-
mativ73
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 21 sty 2012, o 00:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 12 razy
Ostrosłup ma romb jako podstawe?
Można zrobić to też tak:
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ \left| CD\right|=b}\)
\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|=c}\)
Trójkąty SBC i SDC są trójkątami prostokątnymi, załóżmy że okręgi wpisane w te trójkąty są styczne w pukcie E, a ich promienie to odpowiednio r i R.
Z prostej równości dla trójkąta prostokątnego wiemy że odległość \(\displaystyle{ \left|EC\right|=a-r=b-R}\)
Dla trójkąta SBC:
\(\displaystyle{ \left| SB\right|= \sqrt{ b^{2}+ c^{2} }}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left| CS\right|= \sqrt{ a^{2}+ b^{2} + c^{2} }=2r}\)
analogicznie liczymy promień dla trójkąta SDC, z tego wynika że:
\(\displaystyle{ r=R}\)
więc
\(\displaystyle{ a=b}\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ \left| CD\right|=b}\)
\(\displaystyle{ \left| BC\right|=a}\)
\(\displaystyle{ \left| AS\right|=c}\)
Trójkąty SBC i SDC są trójkątami prostokątnymi, załóżmy że okręgi wpisane w te trójkąty są styczne w pukcie E, a ich promienie to odpowiednio r i R.
Z prostej równości dla trójkąta prostokątnego wiemy że odległość \(\displaystyle{ \left|EC\right|=a-r=b-R}\)
Dla trójkąta SBC:
\(\displaystyle{ \left| SB\right|= \sqrt{ b^{2}+ c^{2} }}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left| CS\right|= \sqrt{ a^{2}+ b^{2} + c^{2} }=2r}\)
analogicznie liczymy promień dla trójkąta SDC, z tego wynika że:
\(\displaystyle{ r=R}\)
więc
\(\displaystyle{ a=b}\)