Oblicz pole czworokata..

[Piotrek5000]

Punkt K jest srodkiem srodkowej AM trojkata ABC, L jest punktem przeciecia prostek BK z bokiem AC. Oblicz pole czworokata LKMC, jezeli pole trojkata ABC wynosi 1

[Piotrek5000]

pomocy:o

[kamil13151]

Wiadomo, że: \(\displaystyle{ P_{\Delta} AMC=P_{\Delta} AMB= \frac{1}{2}}\) (środkowa dzieli trójkąty o równych polach).

Odcinek \(\displaystyle{ KB}\) jest środkową trójkąta \(\displaystyle{ AMB}\), także: \(\displaystyle{ P_{\Delta} AKB= \frac{1}{4}}\)

Oznaczmy: \(\displaystyle{ y=|MC|=|BM|}\).

Dalej mamy: \(\displaystyle{ \frac{y}{y}= \frac{|BM|}{|MC|} = \frac{P_{\Delta} KMB}{P_{\Delta} KMC} \Leftrightarrow P_{\Delta} KMB=P_{\Delta} KMC= \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|CL|}{|LA|}= \frac{P_{\Delta} CLB}{P_{\Delta} LAB}=\frac{P_{\Delta} LKC}{P_{\Delta} LKA}}\), także: \(\displaystyle{ \frac{|CL|}{|LA|}= \frac{P_{\Delta} CKB}{P_{\Delta} AKB}= \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{1}{4} } \Leftrightarrow |CL|=2|LA|}\)

Dalej zadanie dokończy Ania .

[anna_]

AU

ea7777858c98dc7f.png (13.29 KiB) Przejrzano 65 razy

[/url]

\(\displaystyle{ P_{\Delta AKC}= \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ |LA|=x}\)
\(\displaystyle{ |CL|=2x}\)

Trójkąty \(\displaystyle{ AKL}\) i \(\displaystyle{ LKC}\) maja taką samą wysokość \(\displaystyle{ h_K}\) (opuszczoną z wierzchołka \(\displaystyle{ K}\))

\(\displaystyle{ P_{\Delta LKC}= \frac{2xh_K}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{\Delta ALK}= \frac{xh_K}{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{\Delta AKC}=P_{\Delta LKC}+P_{\Delta ALK}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2xh_K}{2}+\frac{xh_K}{2}= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3xh_K}{2}= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{xh_K}{2}= \frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2xh_K}{2}= \frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P_{\Delta LKMC}=P_{\Delta LKC}+P_{\Delta KMC}=\frac{1}{6}+ \frac{1}{4} = \frac{5}{12}}\)