Wykaż, że można opisać okrąg...

[Mirek76]

ZAD
W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\) punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ AC}\). Wykazać, że jeżeli:

\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BAD\right| =\left| \sphericalangle BMC\right| = \left| \sphericalangle CMD\right|}\)

to na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg


------------
Moje rozwiązanie
------------

AU

141pk4k.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 72 razy

Oznaczyłem, że te wszystkie równe kąty to \(\displaystyle{ \alpha}\)
I teraz tak:

Biorę pod uwagę okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\). Kąt \(\displaystyle{ DMB}\) jest dwa razy większy od \(\displaystyle{ DAB}\) zatem punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\).

\(\displaystyle{ MA}\) to promień okręgu tego okręgu a skoro \(\displaystyle{ MA=MC}\) to punkt \(\displaystyle{ C}\) też należy do tego okręgu, a wiec dowiodłem to.

ps. To co powyższe wtedy, gdy \(\displaystyle{ \alpha \neq 90^\circ}\), no ale jak \(\displaystyle{ \alpha =90^\circ}\) to proste liczenie...

Jest Ok??

[JankoS]

Biorę pod uwagę okrąg opisany na trójkącie ABD. Kąt DMB jest dwa razy większy od DAB zatem punkt M jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABD.

"..zatem..." na podstanie czego (jakiego twierdzenia)?

[Patron]

Biorę pod uwagę okrąg opisany na trójkącie ABD. Kąt DMB jest dwa razy większy od DAB zatem punkt M jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABD.

"..zatem..." na podstanie czego (jakiego twierdzenia)?

Kąt DMB i kąt DAB są oparte na tym samym łuku. Kąt DAB jest kątem wpisanym, a skoro DMB jest dwa razy mniejszy jest kątem środkowym.
Więc to raczej ok...

[JankoS]

Tak by było, gdyby M był środkiem okręgu, a to właśnie mamy pokazać.
Inaczej: w trójkącie ABD można znaleźć więcej punktów, takich, że kąt BXD jest dwa razt większy od kąta ABD.